一、课程定位与核心目标

本课程由汤家凤老师主讲，专为数学基础薄弱、甚至零数学基础的考研学子设计，核心解决 “考研数学知识点繁杂、入门难、解题无思路” 的痛点。课程严格对标考研数学（数一数二数三）考纲，以 “循序渐进、层层拆解” 为原则，从最基础的预备知识切入，逐步构建高等数学与线性代数的完整知识体系，帮助学生理解核心概念、掌握定理推导逻辑，最终形成 “概念→定理→解题方法” 的连贯思维，为后续强化冲刺阶段打下坚实基础，同时培养应对考研数学真题的解题能力与应试技巧。

二、课程核心内容模块

（一）预备导论：零基础入门衔接（扫清入门障碍）

课程以 “1--01 零基础课程导论及预备章节” 为起点，精准对接零基础学员需求：

先明确考研数学的考查范围、试卷结构及备考规划（如 “基础阶段重概念、强化阶段练题型”），帮助学员建立清晰的备考认知；

系统梳理 “零基础高等数学入门知识”，包括中学数学与大学数学的衔接内容（如函数的基本表示方法、简单代数式运算技巧），填补基础漏洞，避免因前置知识缺失导致后续学习断层，让零数学基础学员也能平稳进入高等数学学习状态。

（二）高等数学核心模块（考研数学占比最高，分章节突破）

高等数学是考研数学的核心板块（数一数三占比 56%，数二占比 78%），课程按 “函数→导数→积分→微分方程→多元函数→二重积分” 的逻辑递进，每个章节均从 “概念理解→定理推导→例题解析→解题方法” 展开：

1. 第一章 函数、极限与连续（高数基础根基）

作为高等数学的入门章节，课程用 5 节内容（2--02 至 6--06）打牢基础：

函数基础：详解 “1.1 函数及函数的初等特性”，包括函数的定义、定义域与值域求解、奇偶性 / 单调性 / 周期性 / 有界性的判断方法，结合实例辨析易混函数类型（如分段函数、复合函数），为后续学习铺垫；

极限核心：从 “1.2 极限” 的定义（数列极限、函数极限）切入，延伸到 “1.3 无穷小与无穷大” 的概念、性质及相互关系，重点讲解 “1.4 极限存在准则（夹逼准则、单调有界准则）与重要极限（两个重要极限公式）” 的推导与应用，帮助学员掌握极限计算的基础方法；

连续与间断：解析 “1.5 连续与间断” 的定义，判断函数连续性的方法，以及间断点的分类（第一类、第二类）与判定技巧，应对考研中 “函数连续性” 的基础考点。

2. 第二章 导数与微分（高数计算核心）

聚焦 “导数与微分” 的计算逻辑，为后续中值定理、积分学习奠基（7--07 至 8--08）：

基础概念与性质：讲解 “2.1 导数与微分的基本概念与性质”，包括导数的定义（瞬时变化率）、几何意义（切线斜率）、微分的定义与近似计算，以及基本求导公式（幂函数、三角函数、指数函数等）与求导法则（四则运算、复合函数求导）；

特殊函数求导：针对 “2.2 隐函数及参数方程确定的函数的导数”，拆解隐函数求导步骤（等式两边同时求导、整理求解）、参数方程求导公式与应用，解决考研中 “非显式函数求导” 的高频题型。

3. 第三章 中值定理与导数的应用（高数难点突破）

作为考研高数的重难点，课程用 4 节内容（9--09 至 12--12）深度拆解，降低理解难度：

中值定理与洛必达法则：分 3 节（3.1 一至三）详解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件、结论与几何意义，结合例题讲解定理的证明思路与应用场景（如证明不等式、判断函数单调性）；同时系统讲解洛必达法则的适用条件（0/0 型、∞/∞型未定式）、使用步骤及注意事项，解决 “极限计算” 的难点题型；

一元微分学应用：通过 “3.2 一元微分学应用”，讲解函数的单调性与极值、凹凸性与拐点、函数最值的求解方法，以及曲率的计算（数一数二考纲要求），结合真题实例演示 “如何用微分学知识解决实际应用问题”。

4. 第四章 不定积分（积分学基础）

围绕 “积分是导数的逆运算” 核心逻辑，拆解不定积分的计算方法（13--13 至 15--15）：

基础概念与性质：解析 “4.1 不定积分的基本概念与性质”，包括原函数的定义、不定积分的几何意义（积分曲线族），以及不定积分的基本公式与运算法则；

核心积分法：重点讲解 “4.2 积分法”，包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法（三角代换、倒代换等）、分部积分法的适用场景与操作步骤，通过典型例题强化方法应用；

特殊函数积分：针对 “4.3 两类特殊函数的不定积分”（有理函数积分、三角函数有理式积分），总结标准化的积分步骤，帮助学员应对 “复杂函数积分” 的难点题型。

5. 第五章 定积分及应用（积分学重点与应用）

衔接不定积分，聚焦定积分的概念、计算与实际应用（16--16 至 20--20）：

基础概念与性质：讲解 “5.1 定积分基本概念与性质”，包括定积分的定义（曲边梯形面积）、几何意义，以及单调性、奇偶性、周期性等特殊性质的应用（简化定积分计算）；

核心定理与计算：用 2 节（5.2 一至二）详解 “牛顿 - 莱布尼茨公式”（定积分与不定积分的桥梁），以及定积分的换元法、分部积分法，结合例题演示 “如何利用定积分性质与定理简化计算”；

反常积分与应用：解析 “5.3 反常积分”（无穷限反常积分、无界函数反常积分）的定义与敛散性判断方法，以及 “5.4 定积分的几何应用”（求平面图形面积、旋转体体积、平行截面面积已知的立体体积），贴合考研中 “积分应用” 的高频考点。

6. 第六章 微分方程（高数应用模块）

围绕 “建立方程、求解方程” 展开，覆盖考研常考题型（21--21 至 23--23）：

基础概念与一阶方程：讲解 “6.1 微分方程基本概念（阶、解、通解、特解）”，以及一阶微分方程（可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程）的求解方法，结合实例演示 “如何根据实际问题建立一阶微分方程”；

高阶方程求解：针对 “6.2 可降阶的高阶微分方程”（y''=f (x) 型、y''=f (x,y') 型、y''=f (y,y') 型），讲解降阶技巧；解析 “6.3 高阶线性微分方程” 的解的结构（齐次方程通解、非齐次方程特解与通解），以及二阶常系数齐次 / 非齐次线性微分方程的求解公式，应对考研中 “高阶微分方程” 的考点。

7. 第七章 多元函数微分学（高数拓展模块）

从 “一元函数” 延伸到 “多元函数”，聚焦核心概念与计算（24--24 至 27--27）：

基础概念与全微分：讲解 “7.1 多元函数微分学的基本概念”（定义域、极限、连续性），以及 “7.2 全微分” 的定义、存在条件与近似计算，帮助学员理解 “多元函数与一元函数的区别与联系”；

求导法则与极值：重点讲解 “7.3 多元函数求导法则”（偏导数、全导数、复合函数求导、隐函数求导），通过例题强化计算步骤；解析 “7.4 多元函数的极值”（无条件极值、条件极值（拉格朗日乘数法））的求解方法，结合实际应用问题（如最值优化）演示解题思路。

8. 第八章 二重积分（积分学多元拓展）

针对考研中 “二重积分” 的核心考点，分步骤拆解（28--29 至 29--28）：

基础概念与性质：讲解 “8.1 二重积分的概念与性质”（定义、几何意义、基本性质），类比定积分帮助学员理解；

计算方法：重点讲解 “8.2 二重积分的计算方法”，包括直角坐标系下的累次积分（X 型区域、Y 型区域）、极坐标系下的累次积分（适用于圆域或圆环域），以及积分区域的对称性与被积函数的奇偶性在简化计算中的应用，解决 “二重积分计算” 的核心难点。

（三）线性代数模块（考研数学重要分支）

线性代数占考研数学分值约 22%（数一数二数三一致），课程按 “行列式→矩阵→向量→线性方程组→特征值与特征向量” 的逻辑递进，贴合考研线性代数的命题规律（30--30 至 38--38）：

1. 第一章 行列式（线代基础）

讲解 “行列式的定义（n 阶行列式）、性质（如交换行 / 列行列式变号、某行 / 列乘常数行列式变倍等）”，以及行列式的计算方法（对角线法则、展开定理、化为上三角 / 下三角行列式），重点突破 “n 阶行列式计算” 的技巧，为后续矩阵、线性方程组学习铺垫。

2. 第二章 矩阵（线代核心工具）

用 3 节内容（02 至 04）深度拆解矩阵的核心知识：

包括矩阵的定义、类型（单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等）、运算（加法、数乘、乘法、转置、逆矩阵），以及矩阵的秩的定义、性质与计算方法；

重点讲解 “逆矩阵的求解”（伴随矩阵法、初等变换法）与 “矩阵的初等变换”（行变换、列变换）的应用（如求秩、求逆矩阵、解线性方程组），掌握线性代数的 “核心运算工具”。

3. 第三章 向量（线代抽象模块）

聚焦向量组的线性关系，是线性代数的难点（05 至 06）：

讲解向量的定义、线性运算，以及向量组的线性表示（一个向量由向量组表示、两个向量组等价）、线性相关性（线性相关与线性无关的定义、判定定理）；

结合矩阵的秩与行列式，推导 “向量组线性相关性的判定方法”，解决考研中 “向量组线性关系” 的抽象题型。

4. 第四章 线性方程组（线代应用核心）

围绕 “线性方程组的解的判定与求解” 展开：

讲解齐次线性方程组（AX=0）的基础解系、通解的求解方法，以及非齐次线性方程组（AX=b）的解的存在性判定（无解、有唯一解、有无穷多解）与通解的求解步骤；

结合向量组的线性关系，推导 “线性方程组解的结构”，帮助学员建立 “矩阵→向量→线性方程组” 的关联思维，应对考研中 “线性方程组” 的高频大题。

5. 第五章 特征值与特征向量（线代高频考点）

针对 “特征值与特征向量” 的定义、性质与应用：

讲解特征值与特征向量的求解方法（解特征方程 | A-λE|=0 求特征值，解齐次方程组 (A-λE) X=0 求特征向量）；

延伸到矩阵的相似对角化（相似矩阵的定义、性质，矩阵可相似对角化的条件），为后续二次型（数一数三考纲要求）学习铺垫，贴合考研中 “特征值与特征向量” 的大题考点。

三、课程特色与学习价值

零基础友好，层层递进：从预备知识切入，每个知识点均从 “定义→定理→例题” 逐步拆解，避免跳跃式讲解，零数学基础学员可跟随节奏逐步消化，无需担心 “跟不上”；

重概念更重解题：汤家凤老师擅长 “用例题讲方法”，每个知识点后均配套典型例题（基础题、中档题），解析解题步骤与思路，帮助学员从 “理解概念” 过渡到 “会做题、做对题”；

贴合考研考纲，考点明确：课程内容严格对标考研数学大纲，剔除超纲内容，重点突出高频考点（如中值定理、积分计算、线性方程组、特征值），帮助学员节省备考时间，精准发力；

体系化构建，拒绝零散：每个模块结尾均隐含 “知识串联” 逻辑（如 “导数→中值定理→积分” 的关联、“矩阵→向量→线性方程组” 的衔接），帮助学员构建完整的数学知识框架，避免 “学了后面忘前面”。

四、适用人群

数学基础薄弱（如本科未学高数 / 线代、中学数学基础差）的考研学子；

备考初期（基础阶段）需要系统梳理考研数学知识点、打牢基础的学员；

对高等数学、线性代数概念模糊，想从 “零” 开始建立解题思维的考生；

目标分数中等偏上（如数学想考 90+），需要扎实基础支撑后续强化冲刺的学员。