‌精品《高等数学》课程大纲‌

（1500字版）

‌一、课程性质与定位‌

《高等数学》是理工科专业的核心基础课，旨在培养科学思维能力和数学素养，为后续专业课程（如大学物理、概率统计）及工程实践奠定数学基础12。课程内容涵盖微积分学核心理论，强调数学思想与工程应用的结合，注重逻辑推理、抽象思维及解决实际问题的能力培养37。

‌二、课程目标‌

‌知识目标‌

掌握函数、极限、连续、导数、微分、积分、微分方程等基本概念与运算方法14。

理解微积分学思想，熟练应用极限、导数、积分解决几何与物理问题35。

‌能力目标‌

培育抽象思维、逻辑推理、空间想象及数学建模能力25。

强化运算技能与分析能力，能结合专业知识解决复杂工程问题58。

‌思政目标‌

融入数学文化与科学精神，培养严谨治学态度与创新意识25。

通过数学史案例增强文化自信与爱国主义情怀56。

‌三、教学内容与学时分配‌

‌总学时：150-170学时‌

‌章节‌ ‌核心内容‌ ‌学时‌

‌1. 函数、极限与连续‌ 函数性质（奇偶性、周期性）、极限定义与计算、无穷小比较、闭区间连续函数性质 16-18 14

‌2. 导数与微分‌ 导数几何与物理意义、求导法则（复合函数、隐函数）、高阶导数与微分应用 12-14 47

‌3. 微分中值定理与导数应用‌ 洛必达法则、泰勒公式、函数单调性与极值分析、曲率与最优化问题 12-14 37

‌4. 不定积分与定积分‌ 积分基本公式、换元积分法、分部积分法、定积分的几何应用（面积、体积） 20-22 34

‌5. 微分方程‌ 一阶线性微分方程、可分离变量方程、二阶常系数线性微分方程及其工程应用 10-12 58

‌6. 多元函数微积分‌ 偏导数与全微分、多元函数极值、二重积分与三重积分的计算 24-26 8

‌实践环节‌ 数学建模案例分析（如人口增长模型、运动学问题）、数值计算软件（MATLAB）基础操作 10-12 58

‌四、教学方法与特色‌

‌混合式教学‌

理论授课结合线上资源（慕课、微课），强化基础概念理解56。

翻转课堂：学生分组讨论极限计算、微分方程建模等专题25。

‌案例驱动‌

引入工程实例（如桥梁受力分析、最优路径规划）讲解导数与积分应用58。

通过数学史故事（如牛顿-莱布尼茨公式争议）激发学习兴趣56。

          课程目录
1.1 映射
Rg包含于Df
第八版可以看本视频（与第七版差别非常小）
1.1 函数
1.1 函数的几种特性
1.1 反函数 复合函数 初等函数
1.2 数列极限的定义
1.2 收敛数列的性质
反三角函数介绍
1.3 函数极限
1.4 无穷小与无穷大
1.5 极限运算准则（修后）
1.6 极限存在准则 两个重要极限
1.7 无穷小的比较
1.8 函数的连续性与间断点
1.9 例5～例8
1.10 闭区间连续函数的性质2
2.1 导数定义
2.1 常用求导公式举例
2.1 单侧导数
2.1 导数的几何含义
练习题：导数定义 切线 法线
2.1 可导与连续的关系
2.2 求导法则（和差积商）
2.2 反函数的求导法则
复合函数求导法则
复合函数求导（补充）
导数公式表
高阶导数
隐函数求导
参数方程求导
练习：高阶导数 参数方程 隐函数求导
微分的定义
基本微分公式与法则
微分的几何意义
微分在近似计算中的应用
微分中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
泰勒公式
函数的单调性
函数的凹凸性和拐点
极值及其求法
函数图形的绘制
曲率
不定积分的定义
积分表
抖肩舞
不定积分的性质
第一类换元积分法
第二类换元积分法
分部积分法
有理函数积分
【五-1】定积分的概念
【五-2】定积分的性质
【五-3】微积分基本公式
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法（例题）
【五-5新】定积分的分部积分法
【五-6】无穷限的反常积分
【五-7】无界函数的反常积分
【五-8】伽马函数
【六-1】定积分的应用-元素法
【六-2】定积分应用--求面积
【六-3】定积分应用--求面积（二）
极坐标初步知识
【六-4新】极坐标下求面积
【六-5】定积分应用--旋转体体积
【六-6】定积分应用--平面曲线的弧长
【新】定积分应用--物理学
【七-1】微分方程的基本概念
【七-2】可分离变量的微分方程
【七-3】齐次方程
【七-4】一阶线性微分方程
【七-5】可降阶的高阶微分方程
第六节 高阶线性微分方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程
【八-1】向量及线性运算
【八-2】空间直角坐标系
【八-3】向量模 两点距离
【八-4】方向角方向余弦
【八-5】数量积
【八-6】向量积
【八-7】平面及其方程
【八-8】平面的一般方程
【八-9】两平面的夹角
【八-10】空间直线及其方程
【八-11】两直线的夹角&直线与平面的夹角
杂例
曲面及其方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
空间曲线及其方程
【九-1】多元函数的基本概念--平面点集
【九-2】n维空间
【九-3】多元函数的极限
【九-4】偏导数
【九-6】全微分
【九-7】多元复合函数求导（理论讲解）
【九-8】多元复合函数求导（例子讲解）
【九-9】隐函数求导（一个方程）
【九-10】隐函数求导（方程组）
【9-10】隐函数求导（方程组）例3符号更正
【九-11】一元向量值函数及其导数
【九-12】空间曲线的切线与法平面
【九-13】空间曲面的切平面与法线
方向导数与梯度
多元函数的极值
数量场向量场
多元函数的最值
条件极值 拉格朗日乘数法（理论讲解）
极值例题
二重积分的定义与性质
二重积分直角坐标
极坐标基础知识1
极坐标基础知识2
二重积分极坐标
二重积分的换元法
三重积分|投影法 截面法 球面坐标
三重积分的应用（求曲面的面积）新增加了证明
重积分应用（求质心）
重积分应用（求转动惯量）
重积分应用（求引力）
对弧长的曲线积分（概念与性质）
曲线积分的计算
对坐标的曲线积分（概念和性质）
对坐标的曲线积分（计算）
对坐标的曲线积分（例题）
两类曲线积分的联系
格林公式的定义和证明
格林公式的计算
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分1（侧和投影）
对坐标的曲面积分2（定义和性质）
对坐标的曲面积分3（计算）
两种曲面积分间的关系
高斯公式
斯托克斯公式
常数项级数的概念和性质
正项级数（一）
正项级数（二）
交错级数
任意项级数
幂级数（1）
幂级数（2）
幂级数的运算
幂级数的例题
函数展成幂级数（1）
函数展成幂级数（2）
函数展成幂级数例题讲解
傅里叶级数与一般周期函数的傅里叶级数
【留档五-4】定积分的换元法
【留档 五-5】定积分的分部积分法
留档【十一（9）】对面积的曲面积分
【留档六-4】定积分应用--求面积极坐标情形
【留档】二重积分的定义
【留档】二重积分的性质
【留档】二重积分的计算（直角坐标系）
【留档】二重积分（极坐标）
【留档】极坐标例题
【留档七-6】常系数线性齐次微分方程
【留档七-7】补充证明过程（可略）
【留档】三重积分的定义
【留档】三重积分的计算（直角坐标系）
【留档】柱面坐标
【留档】三重积分球面坐标（插入了新例题 ）
新版第八章1向量的概念
新版第八章2向量的线性运算
新版第八章3空间直角坐标系
新版第八章4用坐标坐向量的运算
新版第八章5向量的模与两点间的距离
新版第八章6方向角 方向余弦 投影
新版第八章7数量积
新版第八章8向量积
新版第八章9曲面方程与空间曲线
新版第八章10平面及其方程
新版第八章11直线及其方程
新版第八章12曲面研究的基本问题
新版第八章13旋转曲面
新版第八章14柱面
新版第九章1平面点集
新版第九章2多元函数的概念和极限
新版第九章3多元函数的连续性
新版第九章4偏导数
新版第九章5高阶偏导数
新版第九章6全微分
新版第九章7多元复合函数求导（1）
新版第九章8多元复合函数求导（2）
新版第九章9全微分形式不变性
新版第九章10隐函数求导（1）
新版第九章11隐函数求导（2）方程组
新版一元向量值函数及其导数
新版空间曲线的切线和法平面
新版曲面的切平面和法线
第一二曲线积分压缩