- 命题及命题的真值
- 逻辑连接词
- 命题逻辑中命题的符号化
- 命题公式及其真值表
- 命题公式的等价
- 重言式与重言蕴含式
- 析取范式与合取范式
- 主析取范式
- 主合取范式
- 命题逻辑推理一:直接推理
- 命题逻辑推理二:间接推理
- 谓词逻辑的基本概念
- 谓词公式与量词的辖域
- 谓词逻辑中量词的符号化
- 谓词演算的等价式与蕴含式(一)
- 谓词演算的等价式与蕴含式(二)
- 前束范式
- 谓词演算的推理理论(一)
- 谓词演算的推理理论(二)
- 集合的基本概念
- 集合间的关系
- 特殊集合
- 集合的运算
- 有穷集的计数(容斥定理)
- 序偶与集合的笛卡尔积
- 二元关系及其表示法
- 二元关系的性质
- 关系的复合运算
- 关系的求逆运算
- 关系的闭包运算
- 集合的划分与覆盖
- 等价关系与等价类
- 相容关系与相容类
- 偏序关系
- 函数的基本概念
- 函数的复合
- 逆函数及其性质
- 集合基数的基本概念
- 加法法则与乘法法则
- 排列与组合
- 二项式定理与组合恒等式
- 多项式定理
- 二元运算及其性质
- 二元运算中的特殊元
- 代数系统的同态与同构
- 代数系统同构的性质
- 半群和独异点
- 群的定义及性质
- 子群及其证明
- 子群的陪集及拉格朗日定理
- 循环群
- 循环群的子群
- 环与域
- 格的基本概念
- 格的性质
- 特殊的格
- 布尔代数
- 图的基本概念
- 图的连通性
- 图的矩阵表示
- 欧拉图
- 汉密尔顿图
- 最短通路问题
- 平面图
- 图着色
- 无向树及其性质
- 生成树
- 根树
- 根树的应用
离散数学简介
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科,是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素,主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系,其对象一般是有限个或可数个元素。它是传统的逻辑学,集合论(包括函数),数论基础,算法设计,组合分析,离散概率,关系理论,图论与树,抽象代数(包括代数系统,群、环、域等),布尔代数,计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
通过离散数学的学习,不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法,为后续课程的学习创造条件,而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力,为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
离散数学课程是计算机专业的许多专业课程,如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
组合数学与离散数学
组合数学(Combinatorial mathematics)是一门研究离散对象的科学,又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学,狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分,主要研究满足一定条件的组合模型的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化(最佳组合)等。
离散数学的应用
由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系, 因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。
随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法,遍及应用于现代科学技术的诸多领域,特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科,在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想,这是世界近代三大数学难题之一,它是在1852年,由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的,他在进行地图着色时,发现了一个现象,“每幅地图都可以仅用四种颜色着色,并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。那么这能否从数学上进行证明呢?100多年后的1976年,肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)和沃尔夫冈·哈肯(Wolfgang Haken)使用计算机辅助计算,用了1200个小时和100亿次的判断,终于证明了四色定理,轰动世界,这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。
离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁,因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识,又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关,它可以引导人们进入计算机科学的思维领域,促进了计算机科学的发展。