本课程为北师大微分几何远程教育课程视频，由北师大远程教育提供，微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
        微分几何是一门古老的学科，有着悠久的历史，它与微积分同时诞生，事实上，Newton和Leibniz当初发明微积分的目的之一就是为了处理曲线所围的面积，曲线的切线和长度等等几何问题，微积分在几何中的应用后来就逐渐发展成我们在本书要讲授的曲线论和曲面论。在十八世纪，Euler和Monge及其学生对于曲线和曲面理论的研究作出了决定性的贡献。例如曲面在一点的各个切方向上的法曲率的变化是Euler发现的（即Euler公式）。曲线的局部理论是Serret和Frenet在十九世纪五十年代完成的。在曲面论的研究方面，真正的突破是由Gauss在1827年作出的，Gauss经过复杂的计算发现，曲面的总曲率（即Gauss曲率）是由曲面的第一基本形式决定的。
　   经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是L.Euler（1707~1783）。他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。又在物理问题的推动下，1736年他证明了：在无外力作用的情况下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。
　　Riemann在1854年把Gauss的这个理论推广到n维空间，创建了黎曼几何学。Riemann的理论后来由Christoffel,Ricci发展成一整套张量分析的算法。
       我们主要讲述空间曲线和曲面在一点邻近的几何性质，把这一点看成是曲线或曲面上的动点，也就研究了整个曲线和曲面．微分几何的基础是标架（或坐标系）下的向量代数和向量微积分．因此我们着重介绍第一章和第二章．在第一章曲线论中主要讲述第一节、第二节、第三节、第四节，而第五节是特殊的平面曲线，故略去不讲．在第二章曲面论讲述第一节、第二节、第三节、第四节，第六节的一、二、三、四．其中第六节的一、二、三、四略讲．没有讲述的内容供有兴趣的学生自学．