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通过本课程的学习,主要是培养学生运用数学来分析、解决实际问题的数学能力,为后续各课程的学习奠定较好的数学基础,形成一定的数学思想。使学生成为综合能力强,素质全面,能更好地适应未来发展需求的高级应用型人才。
(一) 函数与极限
1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义;
2、了解函数的表示和函数的简单性态——有界性、单调性、奇偶性、周期性;
3、熟悉基本初等函数与初等函数(包含其定义区间、简单性态和图形);
4、理解数列极限的概念(对 定义不作过高要求);
5、熟悉收敛数列的性质—有界性、唯一性;
6、了解数列极限的存在准则—单调有界准则、夹逼准则;
7、理解函数的极限的定义(包括当 和 时,函数极限的定义及左、右极限的定义)
8、了解函数极限的性质—— 唯一性、保号性、局部有界性;
9、熟练掌握极限的四则运算法则(包括数列极限与函数极限)
10、掌握两个重要极限:
11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较;
12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系;
13、函数极限与无穷小量的关系;
14、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类;
15、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性;
16、了解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数的性质。
(二)导数与微分
1、理解函数导数与微分的定义,了解导数与微分的几何意义;
2、熟悉函数可导与连续的关系,会用导数来描述一些物理量;
3、掌握可导函数的和、差、积、商的求导运算法则;
4、掌握复合函数的求导法则和反函数的求导法则;
5、熟悉基本初等函数的求导公式及初等函数的求导问题;
6、了解高阶导数的概念,会求一些简单函数的高阶导数;
7、熟悉隐函数求导法、对数求导法和由参数方程所确定的函数的求导法;
8、熟悉微分的基本公式、运算法则和一阶微分形式不变性;
(三)中值定理与导数的应用
1、理解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理;
2、掌握罗必塔法则,会利用此法则求函数极限;
3、理解函数的极值的概念,会利用导数判别函数的单调性、求函数极值;
4、掌握函数的最大、最小值的求法及其应用问题;
5、了解曲线的凹凸性和拐点的概念,会判别函数曲线的凹凸区间和拐点;
6、会描绘函数的图形;
7、了解弧微分、曲率和曲率半径等概念;
(四)不定积分
1、理解原函数和不定积分的定义,了解不定积分的几何意义;
2、熟练掌握不定积分的基本性质和基本积分公式;
3、掌握不定积分的换元积分法(第一类、第二类换元法)和分部积分法;
4、会求有理函数的积分和一些可以有理化函数的积分;
(五)定积分及其应用
1、理解定积分的定义和定积分的存在定理;
2、熟悉定积分的基本性质——对区间的可加性、线性性质、比较性质和
定积分的中值定理(包括积分均值);
3、理解积分上限的函数的积分性质及其导数,熟悉微积分学基本定理;
4、熟悉牛顿一莱布尼兹公式,掌握定积分的换元积分法和分部积分法;
5、了解两种广义积分(无界函数的广义积分、无穷区间上的广义积分)
的概念及其敛散性定义,会计算广义积分;
6、了解定积分的近似计算方法(梯形法和抛物线法);
(六)定积分的应用
1、掌握定积分的元素法
2、熟悉定积分在几何上应用(求平面图形的面积、特殊立体体积和平面曲线的弧长);
3、熟悉定积分在物理上应用(水压力、变力作功、物体引力等);