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偏微分方程发展简介

常微分方程

十七世纪微积分创立之后,常微分方程理论立刻就发展起来,当时应用常微分方程,解决几何与理学中的新问题.结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实,而且得到了性的发现(例如,海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的).

偏微分方程

偏微分方程的研究要晚得多,对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立.

J.达朗贝尔(D"Alembert)(1717-1783),L.欧拉(Euler)(1707-1783),D.伯努利(Bernoulli)(1700-1782),J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813),P.拉普拉斯(Laplace)(1749-1827),S.泊松(Poisson)(1781-1840),J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础.它们在考察具体的数学物理问题中,所提出的思想与方法,竟适用于众多类型的微分方程,成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础.

十九世纪,偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的,他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一.傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律.在对物体的物理性状作出一定的限制(如均匀,各向同性)后,他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程

其中k是一个参数,其值依赖于物体的质料.傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题:设所考虑的物体为两端保持在温度0度,表面绝热且无热流通过的柱轴.在此情形下求解上述热传导方程,因为柱轴只涉及一维空间,所以这个问题也就是求解偏微分方程

其中后面两项分别是边界条件和初始条件.傅里叶为解这个方程用了分离变量法,他得到满足方程和边界条件的级数解为

为了满足初始条件,必须有

这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数,能否将它表示成三角级数的问题.傅里叶得出的结论是:每个函数都可以表示成

这样,每个可由上式乘以,再从0到积分而得到.他还指出这个程序可以应用于表达式

接着,他考虑了任何函数在区间的表达式,利用对称区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实,傅里叶可以将区间上的任何函数表示为

其系数由

确定,这就是我们通常所称的傅里叶级数.

为了处理无穷区域上的热传导问题,傅里叶同时还导出了现在所谓的"傅里叶积分":

需要指出的是,傅里叶从没有对"任意"函数可以展成傅里叶级数这一断言给出过任何完全的证明,它也没有说出一个函数可以展开为三角级数必须满足的条件.然而傅里叶本人对此充满信心,因为他的信念有几何上的根据.傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论,而且使函数概念得以改进,同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放出来.傅里叶的前辈都曾坚持一个函数必须是可用单个式子表示的,而傅里叶级数却可以表示那些在区间或的不同部分有不同解析式的函数,不论这些表示式相互是否连续地接合着.特别是,一个傅里叶级数是在一整段区间上表示一个函数的,而一个泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数.

事实上,傅里叶的主要思想早在1807年他提交巴黎科学院的一篇关于热传导的论文中就出现了,但是这篇论文在拉格朗日等人评审后遭到拒绝.1811年,他又提交了经过修改的论文,以争取科学院为热传导问题所设立的高额奖金.这次他虽然获了奖,但仍因受到缺乏严格性的批评而未能将论文发表在当时科学院的《报告》里.1824年,傅里叶成为科学院的秘书,这回他终于能够把他1811年的论文原封不动地发表在《报告》里,而这已经是在他的名著《热的解析理论》出版两年以后的事情了.

十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的,这方面的代表人物格林(G.. Green)是一位磨坊工出身,自学成才的英国数学家.位势方程也称拉普拉斯方程:

拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程,不过他得到一个错误的结论,认为这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立.这个错误由泊松加以更正.泊松指出,如果点(x,y,z)在吸引体内部,则满足方程,其中是吸引体密度,它也是x,y,z的一个函数.拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体,格林则认识到函数的重要性,并赋予它"位势"(potential)的名称,与前人不同的是,格林发展了函数的一般理论.他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反,称为奇异点方法.他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中,建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念,其中以格林公式

(n为物体表面指向外部的法向,dv是体积元,d是面积元)和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远.

格林是剑桥数学物理学派的开山祖师,他的工作培育了汤姆逊(W.Thomson),斯托克斯(G.Stokes),麦克斯韦(J.C.Maxwell)等强有力的后继者,他们是十九世纪典型的数学物理学家.他们的主要目标,是发展求解重要物理问题的一般数学方法,而他们手中的主要武器就是偏微分方程,以至于在十九世纪,偏微分方程几乎变成了数学物理的同义词.

剑桥数学物理学派的贡献使经历了一个多世纪沉寂后英国数学在十九世纪得以复兴,麦克斯韦1864年导出的电磁场方程

是十九世纪数学物理最壮观的胜利,正是根据对这组方程的研究,麦克斯韦预言了电磁波的存在,不仅给科学和技术带来巨大的冲击,同时也是偏微分方程威名大振.爱因斯坦在一次纪念麦克斯韦的演讲中说:"偏微分方程进入理论物理学时是婢女,但逐渐变成了主妇,"他认为这是从十九世纪开始的,而剑桥数学物理学派尤其是麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用.

除了麦克斯韦方程,十九世纪导出的著名偏微分方程组还有粘性流体运动的纳维(C.L.M.H. Navier)-斯托克斯和弹性介质的柯西方程等.所有这些方程都不存在普遍解法.不过,十九世纪的数学家们已经逐渐认识到在偏微分方程的情形,无论是单个方程还是方程组,通解实际上不如初始条件和边界条件已给出的特殊问题的解有用.因此他们在求解定结问题方面作了大量工作.

对18,19世纪建立起来类型众多的微分方程,数学家们求显式解的努力往往归于失败,这种情况促使他们转而证明解的存在性.最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西.他指出:在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性.他在19世纪20年代对形如的常微分方程给出了第一个存在性定理,这方面的工作被德国数学家李普希茨(R. Lipschitz),法国数学家刘维尔(J.Liouville)和皮卡(C.E. Picard)等追随.柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人,他在1848年的一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组,然后讨论了偏微分方程组解的存在性并提出了证明存在性的强函数方法.柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(C.B. Ковалевская)独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内非常一般的形式.有关偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称为"柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理".

柯瓦列夫斯卡娅是历史上为数不多的杰出女数学家之一.她出生于莫斯科一个贵族家庭,17岁时就在彼得堡一位海军学校教师指导下掌握了微积分.然而当时俄国的大学拒收女生,为了求学深造,他只好出走德国,先在海德堡大学学习一年,后来慕名到柏林求见威尔斯特拉斯.初次见面,威尔斯特拉斯出了一堆难题考她,估计她多半做不出来,但一周以后,当柯瓦列夫斯卡娅如期带着完满的答卷回来见他时,这位名重一时的数学家对她的数学才能不再怀疑.当时的柏林大学跟俄国的大学一样不收女生,威尔斯特拉斯决定为柯瓦列夫斯卡娅单独授课,每星期日下午一次,四年不曾中断.在这四年时间里,柯瓦列夫斯卡娅不仅学完了大学的全部数学课程,而且还写出了三篇重要论文,其中一篇就是前面提到的关于偏微分方程解存在性的研究.这些工作是那么出色,以至于哥廷根大学在没有经过考试和答辩的情况下破格授予她博士学位,使她成为历史上第一位女数学博士.

由于18世纪的大量开发,常微分方程的求解在19世纪反而局限于用分离变量法解偏微分方程时所得到的那些方程,并且多半使用级数解,这引导出一串特殊函数,如贝塞尔(Bessel)函数,高斯(Gauss)超几何函数等等.在十九世纪后半叶,对常微分方程研究的理论方面变得突出,并且在常微分方程解析理论和定性理论两个大的方向上开拓了常微分研究的新局面,其中重大发展都与庞加莱(H. Poincare)的名字联系着.

庞加莱从27岁起任巴黎大学教授,直到他去世.他是欧拉,柯西之后最多产的数学家,并且在研究领域的广泛方面很少有人能与他相比.每年他在巴黎大学讲授一门不同的科目,而在每一门科目中,他都留着他自己的创造印记.

庞加莱,克莱因和希尔伯特,是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影.他们放射着19世纪数学的光辉,同时照耀着通往20世纪数学的道路.在19世纪末,数学发展呈现出一派生机勃勃的景象,这与18世纪形成了鲜明的对比.无论从内部需要还是外部应用看,数学家们似乎都有做不完的问题.1900年8月5日,庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕,正是在这次会议期间,希尔伯特充满信心地走上讲台,以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕.

当研究在解决物理问题的过程中出现的具体微分方程时,往往会产生一些极具普遍性,起初并没有严格的数学根据而应用于范围广泛物理问题的方法.例如,傅里叶方法,里茨(Ritz)方法,伽辽金(Галёркин)方法,摄动理论方法等就是这一类方法.这些方法应用的有效性成为试图对它们进行严格论证的原因之一.这就导致新的数学理论,新的研究方向的建立(傅里叶积分理论,本证函数展开理论和广义函数论等等).

二,偏微分方程理论的两个特点

1. 偏微分方程理论与应用,与物理问题的直接联系

偏微分方程理论产生于那些归结为考察某些具体偏微分方程的具体物理问题的研究,这些方程便得到数学物理方程的称谓.

数学在物理中应用的历史较长,18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期,19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学,并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支.进入20世纪以后,随着物理科学的发展,数学相继在应用于相对论,量子力学以及基本粒子理论等方面取得了一个又一个突破,极大地丰富了数学物理的内容,同时也反过来刺激了数学自身的进步.

在20世纪初狭义相对论和广义相对论的创立过程中,数学都建有奇功.1907年,德国数学家闵可夫斯基(Minkowski)提出了"闵可夫斯基空间",即将时间与空间融合在一起的四维时空.闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了适合的数学模型.有了闵可夫斯基时空模型后,爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论.1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理,但为了实现广义相对论的目标,还必须寻求理论的数学结构,爱因斯坦为此花费了3年的时间,最后在数学家格罗斯曼(Grossmann)介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具-----以黎曼几何为基础的绝对微分学,亦即爱因斯坦后来所称的张量分析.在1915年11月25日发表的一篇论文中,爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程

就是黎曼度量张量.爱因斯坦指出:"由于这组方程,广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成!"

根据爱因斯坦的理论,时空整体是不均匀的,只是在微小的区域内可以近似地看作均匀.在数学上,广义相对论的时空可以理解为一种黎曼空间,非均匀时空连续区可借助于现成的黎曼度量来描述.这样,广义相对的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义,成为历史上数学应用最伟大的例子之一.

20世纪数学物理的另一项经典成果是量子力学数学基础的确立.20世纪初,普朗克(M. Planck),爱因斯坦,玻尔(N. Bohr)等创立了量子力学,但是到1925年为止,还没有一种量子理论能以统一的结构来概括这一领域已经积累的知识,当时的量子力学可以说是本质上相互独立的,有时甚至相互矛盾部分的混合体.1925年有了重要进展,由海森堡(W. Heisenberg)建立的矩阵力学和由薛定谔发展的波动力学形成了两大量子理论,而进一步将这两大理论融合为统一的体系,便成为当时科学界的当务之急.恰恰在这时,数学又起了意想不到的但却是决定性的作用.1927年,希尔伯特和冯·诺依曼,诺德海姆(L. Nordheim)合作发表了论文《论量子力学基础》,开始了用积分方程等分析工具使量子力学统一化的努力.在随后两年中,冯·诺依曼又进一步利用他从希尔伯特关于积分方程的工作中提炼出来的抽象希尔伯特空间理论,去解决量子力学的特征值问题,并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形,从而奠定了量子力学的严格数学基础.1932年,冯·诺依曼发表了总结性著作《量子力学的数学基础》,完成了量子力学的公理化.

抽象的数学成果最终成为其他科学新理论的仿佛是量身定做的工具,在20世纪下半叶又演出了精彩的一幕,这就是大范围微分几何在统一场论中的应用.广义相对论的发展,逐渐促使科学家们去寻求电磁场与引力场的统一表述,这方面第一个大胆的尝试是数学家外尔(H. Weyl)在1918年提出的规范场理论,外尔自己称之为"规范不变几何".统一场论的探索后来又扩展到基本粒子间的强相互作用和弱相互作用.1954年,物理学家杨振宁和米尔斯(R. L. Mills)提出的"杨-米尔斯理论",揭示了规范不变性可能是所有四种(电磁,引力,强,弱)相互作用的共性,开辟了用规范场论来统一自然界这4中相互作用的新途径.数学家们很快就注意到杨-米尔斯理论所需要的数学工具早已存在,物理规范势实际上就是微分几何中纤维丛上的联络,20世纪30,40年代以来已经得到深入的研究.不仅如此,人们还发现规范场的杨-米尔斯方程是一组在数学上有重要意义的非线性偏微分方程.1975年以来,对杨-米尔斯方程的研究取得了许多重要成果,展示了统一场论的诱人前景,同时也推动了数学自身的发展.

数学不仅在物理,化学等传统学科中有着广泛而重要的应用,数学在生物学中应用自20世纪初以来得到了很大发展.1926年,意大利数学家伏尔泰拉(V. Volterra)提出著名的伏尔泰拉方程.从此微分方程又成为建立各种生物模型的重要工具.用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰动性成果,这就是描述神经脉冲传导过程的数学模型霍奇金(Hodgkin)-哈斯利(Huxley)方程(1972)和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱茵(Hartline)-拉特利夫(Ratliff)方程(1958),它们都是复杂的非线性方程组,引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣.这两项工作分别获得1963年和1967年度诺贝尔医学生理学奖.

与物理,化学和生物,甚至于经济领域现象有关的数学问题提出,导致现象的数学理想化,或者换句话说,导致建立描述所研究的各类现象基本规律的数学模型.对于一系列现象的数学模型的建立在于归结为以基本物理,经济规律为基础的方程,这些模型仅仅考虑到现象的本质特点而忽略一系列次要的特点.例如,动量守恒,能量守恒,质量守恒等就是这样的规律.用这种方法可以得到在电动力学,声学,弹性力学,流体动力学以及其他连续介质力学的分支所研究的物理现象的方程.用数学方法研究数学模型不仅可以得到物理现象的定量特征,以给定的精度计算实际过程,还可能洞察物理现象的本质,有时还可以预言新的效果.

偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析,函数论,拓扑学,代数,复分析的紧密联系.

偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.弦振动的研究就是这种相互影响的经典范例.弦振动是达朗贝尔于1747年建立的,它还得到了表达这个方程通解的公式.欧拉得出弦振动方程柯西(Cauchy)问题解的公式:这个公式今天称为达朗贝尔公式.D.伯努利断言:弦振动方程的任何解均可表示为三角级数.欧拉同达朗贝尔,D.伯努利关于弦振动方程解的性质的争论,对数学物理,分析学,特别是三角级数理论的发展具有重要意义.

J.傅里叶在1822年进一步研究了用三角级数表示函数的问题,这是与热传到问题有关的.随后在L.狄利克雷(Dirichlet)(1805-1859)的工作中最先指出了把函数展开成三角级数的充分条件.最先出现在数学物理问题中的把函数表示成三角级数的问题在很大程度上促成了现代的集论与函数论的建立.

偏微分方程在几何上的应用产生了微分几何,古典微分几何多是局部性即小范围的.黎曼几何在空间每一点附近建立局部的二次微分型式

19世纪末,意大利数学家里奇(C.G.Ricci )发展了黎曼关于微分型式不变量的研究,开创了所谓"绝对微分学",即现在的张量分析,系统地研究里面度量在坐标变换之下的不变性.1917年,里奇的学生列维(T. Levi)-奇维塔(Civita)引进"列维-奇维塔平移",将欧氏空间的平行概念推广到弯曲空间,是黎曼几何具有了明显的几何意义.后来外尔发现平行性与空间的度量性质无关,从而建立所谓仿射联络(1918),摆脱度量定义平移与曲率,从而建立更广泛的几何理论.1920年以后嘉当(E. Cartan)发展了一般的联络理论与活动标架法.嘉当联络是纤维丛概念的先声,但在20世纪30年代以前,黎曼几何的研究,包括嘉当的工作,主要是小范围的.1925年,霍普夫(Hopf)注意到黎曼空间的微分几何结构与拓扑结构的关系,微分几何开始经历从局部到整体的转移.

整体微分几何以研究微分几何(小范围)性质与大范围性质之间的联系为目标.由于纤维丛的概念反映了流形的固有的图片性质,它提供了从局部研究想整体研究过渡的合适机制.因此整体微分几何的研究与微分拓扑学便有不解之缘,纤维丛与示性类的引入,使整体微分几何的研究出现了突破,陈省身在这方面有奠基性的贡献.

微分几何本来就是分析在几何中的应用,整体微分几何则表现出与现代分析更深刻的联系,特别是非线性偏微分方程理论的运用,引出了整体微分几何的重大成果.典型的例子是丘成桐1976年解决了微分几何领域里著名的"卡拉比猜想".这是给定里奇曲率求黎曼度量的问题,其中需要求解高难度的非线性偏微分方程.丘成桐还解决了一系列与非线性偏微分方程有关的其他几何问题,并证明了广义相对论中的正质量猜想等等.由于这些工作,1982年丘成桐荣获菲尔兹奖.

三,偏微分方程理论的内容

偏微分方程是数学的中心,不论是纯粹数学还是应用数学.它们通常发生于因变量作为以空间和时间为自变量的连续变化函数的数学模型中.它们最引人注目的特性是其普适性,这一特性使我们能够从流体和固体力学,电磁学,概率,金融到众多应用领域中找到偏微分方程理论中每个数学概念的来源.而且这种可应用性随着现代软件适用于这种方程的离散逼近格式的灵活性和威力的增加而日益增长.同样戏剧性的是所有这些应用领域中方程的产生方式能容易地成为非常重要和深刻的基本数学问题的研究动机,并且反过来从这些研究的成果中获益.

不管它是否作为一种物理现象的模型,偏微分方程的分析有许多目的.其中的一个主要目的是适定性.粗略地说,一个偏微分方程是适定的,若它有解(存在性),解唯一(唯一性),且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变(连续依赖性).前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则是实验观察的基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通畅不可能求得显示解,从而逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别的重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系:对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成偏微分方程理论的核心内容.

本课程作为偏微分方程的入门课程,主要研究椭圆,抛物和双曲这三类线性偏微分方程的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程,热传导方程和波动方程为代表.具体地,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就解决了存在性问题;再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求的解是唯一的,也就是解决了唯一问题;关于连续依赖性问题,需要在不同的函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解对于输入数据的连续依赖问题.

四,偏微分方程理论的学习

有鉴于上述内容,偏微分方程的学习以三类线性偏微分方程的适定性问题为主线.同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点:一是与应用,与物理的紧密联系;二是与数学其他分支的联系.

对于每一类方程,首先需要对方程的导出有一定的了解.事实上,同一个方程可能有许多不同的来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一.同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地揭示物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型进行研究之后,需要有意识地将数学解代回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,甚至于预言新的物理现象.

只有这样才能显示出偏微分方程理论是从物理等具体学科中发展出来,同时又服务于这些具体学科,逐步提高分析,解决实际问题的能力.

至于与数学其他学科的联系,首先,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想和定理,解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识;其次,唯一性和连续依赖性则需要许多实变和泛函分析的理论和方法.事实上,实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分方程理论研究的.

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