第一章 丰富的图形世界

1.1生活中的立体图形分类

知识点1 常见的几何体及其特征

知识点2 几何体的分类

常见的几何体不仅可以按柱体、锥体、球分类，也可以按围成的面分类。分类如下：

提醒：如果对于我们看到的物体，只研究它们的形状、大小和位置关系，而不考虑颜色、质量、原料等其他性质时，就得到各种几何体。

知识点3 棱柱的相关概念及其特征

1.棱柱的相关概念

在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

2.棱柱的特征

①棱柱的所有棱长都相等

②棱柱的上下底面形状相同

③棱柱的侧面形状是平行四边形

3.棱柱的分类

根据底面图形的边数，将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱......它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形......

4.棱柱中元素之间的关系

底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，其中有n条侧棱，有（n+2）个面，n个侧面。

知识点4 圆柱与棱柱的异同点

相同点都有两个底面且上、下底面形状、大小完全相同

不同点底面圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形

侧面圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是平行四边形

相同点都有两个底面且上、下底面形状、大小完全相同

不同点底面圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形

侧面圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是平行四边形

知识点5 图形的构成

1.图形是由点、线、面构成的，其中面有平面也有曲面；线有直线也有曲面，面与面相交得到线，线与线相交得到点。

2.用运动的观点看点、线、面、体之间的关系

点动成线：把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就可画出线；

线动成面：钟表上的指针旋转时可以形成一个圆面；

面动成体：长方形绕它一边旋转，形成一个圆柱体

1.2展开与折叠

知识点1 正方体的表面展开图

知识点2 棱柱、棱锥的表面展开图

（1）棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些平行四边形组成的。沿棱柱表面不同的棱剪开，可以得到不同组合方式的表面展开图。如图：

（2）棱锥的表面展开图是由一个多边形和一些三角形组成的。沿棱锥表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图。

知识点3 圆柱、圆锥的表面展开图

（3）圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆和一个长方形组成的，其中长方形的一边是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。

（4）圆锥的表面展开图是由一个扇形和一个圆组成的，其中扇形的半径长是圆锥的母线，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。

1.3截一个几何体

知识点1 截面

用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，截面形状通常为三角形、正方向、长方形、梯形、圆、椭圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度与方向有关。

知识点2 截一个几何体所得截面的形状

1.4 三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

第二章 有理数及其运算

知识点1 有理数

1.用正数和负数表示具有相反意义的量

（1）具有相反意义的量都具有数量

（2）具有相反意义的两个量必须是同类量

2.有理数的定义：整数与分数统称为有理数

3.有理数的分类：

（1）按定义分类：

（2）按符号分类

注意：有限小数和无线循环小数都是分数，都是有理数

知识点2 相反数

1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。

2.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等

3.互为相反数的两个数的和是0，即a+（-a）=0。

知识点3 数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

3.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示（反过来说不对）。

4.同一数轴上，右边的数总比左边的数大。

知识点4 倒数

1.乘积为1的两个有理数互为倒数（乘积为-1的两个有理数互为负倒数）。

2.如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

3.倒数等于本身的数是1和-1，0没有倒数。

知识点5 绝对值

1.定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作|a|

2.任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0

3. 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

知识点6 有理数比较大小

1.正数>0>负数

2.正数和正数比较大小，绝对值大的就大

3.负数和负数比较大小，绝对值大的反而小

知识点7 有理数的运算

1.运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的

2.运算律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc

3.有理数加法法则

同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；

异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；

一个数同0相加，仍得这个数。

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数

5.有理数的乘法法则

两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

任何数与0相乘，积仍为0

几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。

6.有理数的除法法则

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除

0除以任何非0数都得0，0不可作为除数，否则无意义

除以一个数，等于乘以这个数的倒数

有理数的乘方

7.有理数的乘方

几个相同因数积的运算叫做乘方

注意：

（1）一个数可以看作是本身的一次方

（2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数

乘方运算性质：

（1）正数的任何次幂都是正数

（2）负数的奇次幂是负数，偶数次幂是正数

（3）任何数的偶数次幂都是非负数，即a2≥0

（4）1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0

（5）-1的偶数次幂都得1，-1的奇次幂都得-1

知识点8 科学计数法

第三章 整式及其加减

3.1字母表示数

01 本节核心

字母可以表示任何数！！！！

02 用什么样的字母表示数？

26个字母任何一个其实都是可以的，因为用来表示任何一个数时，它只是需要一个符号而已。但是一般情况下，我们常常用x表示。

03 字母表示数有何意义？

可以简明地表达问题中的数量关系

举个栗子~

第一个，圆的半径可以表示为r，那么该圆的面积是Πr2，周长就是2Πr

第二个，我们在第一章学的，棱柱，还记得吗？

n棱柱，有n+2个面，2n个顶点，3n条

04 用字母表示数要注意四点

1.在同一个问题中，不同的量用不同的字母表示。比如说，在长方形中，如果长用a表示，宽就不能用a表示了，可以用b表示，不然就会引起混乱。

2.在特定的情况下，有些字母表示的内容有它特定的意义。比如说，在计算面积和周长时，习惯用s表示面积，c表示周长，h表示高。

3.用字母表示数时，数字和字母，字母和字母之间的乘号可以记作"·"或者省略不写。

4.用字母表示数需要写单位名称时，如果是乘法和分数的形式，可以直接在后面写上单位名称，如果出现了+、-，请加上小括号再写单位。比如说， (a+5)米 和 5/a 米 的区别。

3.2代数式

01 代数式的概念

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：

①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

01 代数式的书写格式

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数；

④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；

⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面。

3.3整式

定义：单项式和多项式统称为整式。

①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：

1.单独的一个数或一个字母也是单项式；

2.单独一个非零数的次数是0；

3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1，a3b的系数是1。

②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。

3.3整式的加减

01 什么是同类项

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2.注意：

①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。

②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；

③几个常数项也是同类项。

02 合并同类项法则

把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

03 去括号法则

①根据去括号法则去括号：

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

②根据分配律去括号：

括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。

04 添括号法则

添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。