• 名称:复变函数(33讲)西安交通
  • 分类:大学理工  
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  • 时间:2019/9/27 21:41:19
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          复变函数课程是高等师范大学和综合性大学数学类专业本、专科的一门重要基础课。复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系,其主要研究对象是解析函数.复变函数又称复分析,是实变函数微积分的推广和发展.因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处,而且在研究问题方面与逻辑结构方面也非常类似.复变函数是一门古老而富有生命力的学科.早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础.复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,已经被广泛的应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域.
 复变函数是分析学的一个重要的组成部分,是数学乃至自然科学的重要基础之一,是分析学知识应用于实际问题的一种具体工具和桥梁,它的中心内容是解析函数理论,它创立于十九世纪,并成为统治十九世纪最独特的数学分支之一,为现代分析奠定了基础.但在最初,人们只把它作为一门选修课程。随着社会的进步、科学技术的发展,复变函数在数学乃至自然科学中的地位发生了巨大变化,到了二十世纪迅速成为了大学数学教育的基础课程,以致很多院校数学专业把该课程与实变函数一起命名为“分析II”,作为“数学分析”(称为“分析I”)直接的最重要的后续课程之一。同时把“数学分析”(称为“古典分析”)、“复变函数与实变函数”设为专业必修课,等等。
    由于复变函数理论在数学和实际应用中的重要性,人们常把复变函数作为抽象数学与自然界之间最和谐的理论的标志。目前,复变函数理论已渗透到现代数学的许多分支,对于这门课掌握的好坏,将直接影响到数学与应用数学专业的许多后续课程(例如函数的值分布与幅角分布理论、Hp空间、拓扑学、微分与积分方程、泛函分析、微分流形、动力系统、偏微分方程、数学控制论、分形几何、小波分析、调和分析、傅立叶变换、拉普拉斯变换、计算方法、概率统计等)的进一步学习和研究。因此,几乎所有大学的数学专业甚至还有些其它专业,如物理的某些专业,都开设了这门课程。
    另外这门在数学乃至自然科学中的地位之所以重要还在于,一方面它与古典分析联系非常密切,常常可以为古典分析中的某些问题的解决提供有效的方法(例如,积分、级数值的计算等),另一方面它与实际问题的联系非常密切,例如在空气动力学、流体力学、电学、热学、现代物理以及飞机设计与制造中经常用到复变函数的思想和方法。实际上,复变函数理论的建立和发展最初正是伴随着数学应用于解决实际问题的需要。因此,它又是一门应用性很强的学科,可为数学实验、数学建模提供较好的平台。
    复变函数是介绍用复数方法,再结合一些近代数学的思想来研究函数的一门课程。这门课程的定位看似很明确,但从教学改革的角度来说,这门课程的挑战性较大。一方面学生对复数的理解本来就不透彻,对一般复数的结构、理论、应用技巧以及一些现代数学知识的了解更是比较模糊,再以复数以及一些现代数学的思想作为工具来研究函数,学生会感到一下难于接受,多年来教师们致力于改变这种状况;另一方面,作为既注意理论又比较强调应用的一门课程,内容弹性比较大,讲授方式弹性也比较大。