课程首介

离散数学，是现代数学的一个重要分支，计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。

离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。

离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形或于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。

《离散数学》是信息管理与信息系统、电子商务专业本科生的专业基础课程。离散数学是研究离散量的结构及相互关系的学科，它综合了计算机科学中所用到的各数学分支，为计算机科学及相关学科提供了有力的理论基础和工具，其应用在信息管理与开发领域相当广泛。通过学习本课程，培养了学生的逻辑推理、抽象思维和形式化思维能力，为学习各专业课程，如数据结构、程序设计、操作系统、数据库原理、计算机网络、信息组织、信息检索、项目管理、决策支持系统等课程，作了必要的数学准备，是将信息由人工处理转为计算机自动化处理的“桥梁”，从而提高学生的理论素质以及独立学习与工作的能力。

《离散数学》是应用数学课，因此教学方式主要还是定理证明、例题讲解以及学生课后的习题练习。本专业的《离散数学》是给其他专业课打基础、作知识预备的，教学重点在于应用，所以教学中选用的例题与习题多是与实际问题结合的，并要引导学生将专业课中涉及的内容用离散数学的方法来解决，强调的是加深理解、加强联系，学以致用。在每章学完后会采用讲习题课、讨论答疑、批改作业等多种手段来检查学生学习效果，部分习题解答要求学生编程序实现。

高欺数学的发展

18世纪以前，数学基本上是研究离散对象的数量和空间关系的科学。

之后，因天文学，物理学的发展，如行星轨道，牛顿三大力学定律等研究，极大地推动了连续数学（以微积分，数学物理方程，实、复变函数论为代表）的发展。离散对象的研究则处于停滞状态。

20世纪30年代，图灵提出计算机的理论模型——图灵机。这种模型早于实际制造计算机十多年，现实的计算机的计算能力，本质上和图灵机的计算能力一样。

由于在计算机内，机器字长总是有限的，它代表离散的数或其它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展，离散数学就显得重要。

数理逻辑：“证明”在计算科学的某些领域至关重要，构造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。离散结构：用来表示离散对象以及它们之间关系的抽象数学结构，包括：集合、排列、关系、树、图。

算法化思维：许多问题都可以通过构造一个可以被程序实现的算法来解决。它的三个步骤是：构造（选择合适的离散模型和操作步骤）、验证（算法的正确性）、评估（时间和空间的复杂性）。

应用和建模：在可以想到的任何研究领域都有离散数学的应用。计算科学、化学、植物学、动物学、语言学、地理、经济学等，构造离散模型都是极其有用的解决问题的方法。

为什么要学商欺数学

计算机求解的基本模式是：

实际问题>数学建模>算法设计>编程实现离散数学为数学建模打下知识基础、为算法设计提供具体指导

离散数学结构实际上就是通用的抽象的模式的集合。告诉你各种模式的本质特征和它们之间的关系，以及选用它们的策略；告诉你哪些问题是可解的，哪些是当前在图灵机模型上无（最优）解的，哪些是可以得到近似/较优解的。简而言之，离散数学的作用就在于训练运用离散结构作为问题的抽象模型、构造算法、解决问题的能力。

课程目录：

 1 - 1 01-课程介绍 (01_59) 1 - 4 04-数理逻辑介绍 (04_55) 1 - 3 03-正式内容之前：悖论、版画、卡农 (11_52) 1 - 2 02-正式内容之前：形式化及其极限 (18_53) 1 - 5 05-什么是命题 (05_46) 1 - 6 06-排中律 (05_14) 1 - 7 07-命题符号化 (06_25) 1 - 8 08-逻辑联结词（上） (06_57) 1 - 9 09-逻辑联结词（下） (07_42) 1 - 10 10-命题公式 (06_36) 1 - 11 11-真值函数 (06_37) 1 - 12 12-命题形式化 (06_33) 2 - 1 13-重言式 (06_11) 2 - 2 14-逻辑等价式和逻辑蕴涵式 (17_39) 2 - 3 15-代入原理和替换原理 (05_41) 2 - 4 16-证明逻辑等价式和逻辑蕴涵式 (13_53) 2 - 5 17-范式及基本术语 (07_25) 2 - 6 18-求范式的一般步骤 (10_25) 2 - 7 19-主范式 (14_46) 2 - 8 20-联结词集完备性 (10_28) 2 - 9 21-形式系统和证明、演绎 (07_01) 2 - 10 22-命题演算形式系统PC (09_06) 2 - 11 23-PC中的定理证明 (07_52) 2 - 12 24-三个元定理 (15_29) 2 - 13 25-定理判定问题 (15_37) 3 - 1 26-数理逻辑-个体、谓词和量词 (14_30) 3 - 2 27-数理逻辑-谓词公式 (09_52) 3 - 3 28-数理逻辑-谓词公式永真式 (13_57) 3 - 4 29-数理逻辑-谓词演算形式系统FC (09_38) 3 - 5 30-数理逻辑-全称引入规则及存在消除规则 (08_17) 3 - 6 31-数理逻辑-自然推理系统 (14_31) 3 - 7 32-数理逻辑-ND中的定理证明 (06_51) 4 - 2 34-集合基本概念 (15_17) 4 - 4 36-集合基本运算 (23_03) 4 - 5 37-集合族及运算 (17_02) 4 - 7 39-自然数的定义 (11_35) 4 - 8 40-归纳原理 (07_25) 4 - 9 41-数学归纳法 (11_58) 5 - 1 42-有序组 (06_59) 5 - 3 44-关系定义 (14_17) 5 - 4 45-关系运算 (09_13) 5 - 5 46-关系合成运算 (19_00) 5 - 6 47-关系基本特性 (10_47)