2025 届高考数学：三角函数与不等式综合题型全解

三角函数与不等式的交叉考查是高考数学的 “压轴级” 考点，常以 “三角函数性质为载体，不等式证明 / 求解为目标”，融合函数单调性、最值、恒成立问题等核心素养。本专题按 “基础融合型→复杂综合型→创新拓展型” 分类，拆解 10 大高频题型，提供 “题型识别→方法选择→步骤模板” 的完整解题链，帮助考生突破高分瓶颈。

一、基础融合型：三角函数性质与不等式初步结合

核心题型 1：利用三角函数值域解不等式

题型特征

已知三角函数表达式（如 \( f(x) = A\sin(ωx+φ) + B \)），求解含该函数的不等式（如 \( f(x) > k \)），或已知不等式恒成立求参数范围。

解题模板（三步法）

求三角函数值域：根据三角函数性质（正弦 / 余弦值域\([-1,1]\)、正切无界），结合解析式求 \( f(x) \) 的最值（如 \( f(x) = 2\sin x + 1 \) 的值域为\([-1,3]\)）；

转化不等式：将含三角函数的不等式转化为 “值域与常数的关系”（如 \( 2\sin x + 1 > 2 \) 即 \( \sin x > \frac{1}{2} \)）；

求解不等式 / 参数：

解三角不等式：利用单位圆或三角函数图像，确定解集（如 \( \sin x > \frac{1}{2} \) 的解集为 \( (2kÏ€+\frac{Ï€}{6}, 2kÏ€+\frac{5Ï€}{6})，k∈\mathbb{Z} 

\)）；

恒成立求参：若 \( f(x) ≥ k \) 恒成立，则 \( f(x)_{min} ≥ k 

\)（如 \( 2\sin x + 1 ≥ m \) 恒成立，需 \( m ≤ -1 \)）。

真题示例（2024 新高考 II 卷）

题目：已知函数 \( f(x) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x \)，若对任意 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \)，\( f(x) ≥ m \) 恒成立，求 \( m \) 的最大值。

解析：

化简 \( f(x) = 2\sin(2x+\frac{Ï€}{6}) \)（辅助角公式：\( a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+φ) \)）；

求值域：\( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \) 时，\( 2x+\frac{Ï€}{6}∈[\frac{Ï€}{6},\frac{7Ï€}{6}] 

\)，\( \sin(2x+\frac{Ï€}{6})∈[-\frac{1}{2},1] \)，故 \( f(x)∈[-1,2] \)；

恒成立条件：\( f(x)_{min} = -1 ≥ m \)，故 \( m \) 的最大值为\(-1\)。

核心题型 2：三角函数单调性与不等式证明

题型特征

证明含三角函数的不等式（如 \( \sin x < x \) 对 \( x>0 \) 成立），或比较两个三角函数值的大小（如 \( \sin a > \sin b \)）。

解题方法：构造函数 + 导数判断单调性

构造辅助函数：将不等式变形为 “\( g(x) > 0 \)” 形式（如证明 \( \sin x < x \)，设 \( g(x) = x - \sin x \)）；

求导分析单调性：计算 \( g'(x) \)，判断其在目标区间的正负（如 \( g'(x) = 1 - \cos x ≥ 0 \)，仅 \( x=2kÏ€ \) 时为 0）；

利用单调性证不等式：

若 \( g(x) \) 在 \( (a,b) \) 单调递增，且 \( g(a) ≥ 0 \)，则 \( g(x) > 0 \) 在 \( (a,b) \) 恒成立（如 \( g(0)=0 \)，故 \( x>0 \) 时 \( g(x) > 0 \)，即 \( \sin x < x \)）。

高频结论（可直接应用）

当 \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \) 时：\( \sin x < x < \tan x \)；

当 \( x>0 \) 时：\( \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \)（泰勒展开近似，可通过导数证明）。

二、复杂综合型：三角函数与不等式的深度交叉

核心题型 3：三角函数与绝对值不等式结合

题型特征

含三角函数的绝对值不等式（如 \( |\sin x - \cos x| > 1 \)），或已知绝对值不等式求参数（如 \( |a\sin x + b| ≤ 2 \) 对任意 \( x \) 成立）。

解题关键：去绝对值 + 三角恒等变换

去绝对值符号：将不等式转化为 “\( -k ≤ f(x) ≤ k \)” 或 “\( f(x) > k \) 或 \( f(x) < -k \)”（如 \( |\sin x - \cos x| > 1 \) 即 \( \sin x - \cos x > 1 \) 或 \( \sin x - \cos x < -1 \)）；

化简三角函数：用辅助角公式将 \( f(x) \) 化为 “\( A\sin(ωx+φ) + B \)” 形式（如 \( \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin(x-\frac{Ï€}{4}) \)）；

结合值域求解：利用三角函数值域确定不等式解集或参数范围（如 \( |\sqrt{2}\sin(x-\frac{Ï€}{4})| > 1 \) 即 \( |\sin(x-\frac{Ï€}{4})| > \frac{\sqrt{2}}{2} \)，解集为 \( (kÏ€+\frac{Ï€}{2}, kÏ€+Ï€)，k∈\mathbb{Z} \)）。

核心题型 4：三角函数与均值不等式综合

题型特征

利用均值不等式（基本不等式、柯西不等式）求含三角函数的表达式的最值（如 \( y = \sin x + \frac{1}{\sin x} \)，\( x∈(0,Ï€) \)）。

解题注意事项（避坑重点）

满足均值不等式条件：一正（变量为正）、二定（和 / 积为定值）、三相等（等号可取）；

例：求 \( y = \sin x + \frac{4}{\sin x} \)（\( 0 < x < Ï€ \)）的最小值，因 \( \sin x ∈(0,1] \)，若直接用基本不等式得 \( y ≥ 4 \)，但等号需 \( \sin x = 2 \)（无解），故需用函数单调性：设 \( t = \sin x ∈(0,1] \)，\( y = t + \frac{4}{t} \) 在 \( (0,1] \) 单调递减，最小值为 \( 1 + 4 = 5 \)；

结合三角恒等变换凑定值：如求 \( y = \sin^2 x \cos x \)（\( 0 < x < \frac{Ï€}{2} \)）的最大值，可变形为 \( y = 2·\frac{\sin x}{2}·\frac{\sin x}{2}·\cos x \)，利用基本不等式 \( abc ≤ (\frac{a+b+c}{3})^3 \)，得最大值为 \( \frac{2\sqrt{3}}{9} \)。

核心题型 5：三角函数与不等式恒成立问题

题型特征

已知含参数的三角函数不等式对任意 \( x \) 恒成立（如 \( a\sin^2 x + b\cos x + c ≥ 0 \) 对所有 \( x \) 成立），求参数范围。

解题通法：换元转化为二次函数恒成立

三角换元：令 \( t = \sin x \) 或 \( t = \cos x \)，将不等式转化为关于 \( t \) 的二次不等式（\( t ∈[-1,1] \)）；

例：\( a\sin^2 x + b\cos x + c ≥ 0 \) 可化为 \( a(1 - \cos^2 x) + b\cos x + c ≥ 0 \)，即 \( -a t^2 + b t + (a + c) ≥ 0 \)（\( t ∈[-1,1] \)）；

二次函数恒成立条件：

当 \( a ≠ 0 \) 时，若二次函数 \( g(t) = pt^2 + qt + r ≥ 0 \) 在 \( t ∈[-1,1] \) 恒成立，则需满足：

开口向上（\( p > 0 \)）+ 判别式 \( Δ ≤ 0 \)，或

开口向上 + \( g(-1) ≥ 0 \) + \( g(1) ≥ 0 \)（端点值非负）；

分类讨论参数：按参数系数（如 \( a=0 \)、\( a>0 \)、\( a<0 \)）分类，避免遗漏情况。

三、创新拓展型：高考压轴题中的融合考法

核心题型 6：三角函数与不等式结合的存在性问题

题型特征

存在 \( x∈D \) 使含三角函数的不等式成立（如 “存在 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] 

\)，使 \( \sin x + a > 2 \)”），求参数范围。

解题关键：与恒成立问题的区别

恒成立：\( f(x) ≥ k \) 对所有 \( x∈D \) 成立 → \( f(x)_{min} ≥ k \)；

存在性：存在 \( x∈D \) 使 \( f(x) ≥ k \) 成立 → \( f(x)_{max} ≥ k \)；

例：存在 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \) 使 \( \sin x + a > 2 \)，即 \( a > 2 - \sin x \) 有解，因 \( 2 - \sin x ∈[1,2] \)，故 \( a > 1 \)。

核心题型 7：三角函数与不等式的证明题（压轴级）

题型特征

证明复杂的三角不等式（如 “对任意 \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \)，\( \sin x + \cos x > 1 + x - x^2 \)”），常需结合导数、放缩法。

解题方法：分层放缩 + 导数辅助

拆分不等式：将复杂不等式拆分为 “易证明的简单不等式”（如证明 \( \sin x + \cos x > 1 + x - x^2 \)，可拆分为 \( \sin x > x - x^2 \) 和 \( \cos x > 1 \)，但需验证合理性，实际更优方案是构造 \( g(x) = \sin x + \cos x - 1 - x + x^2 \)）；

求导分析单调性与最值：计算 \( g'(x) = \cos x - \sin x - 1 + 2x \)，再求二阶导 \( g''(x) = -\sin x - \cos x + 2 > 0 \)（因 \( \sin x + \cos x ≤ \sqrt{2} < 2 \)），故 \( g'(x) \) 在 \( (0,\frac{Ï€}{2}) \) 单调递增，且 \( g'(0) = 0 \)，故 \( g'(x) > 0 \)，\( g(x) \) 单调递增，\( g(x) > g(0) = 0 \)，得证。

四、避坑指南与备考策略

1. 常见易错点警示

三角换元忽略范围：如令 \( t = \sin x \) 时，\( t ∈[-1,1] \)，不可默认 \( t > 0 \)；

均值不等式等号条件不验证：如 \( y = \sin x + \frac{1}{\sin x} \) 中，等号需 \( \sin x = 1 \)（仅 \( x=\frac{Ï€}{2} \) 时成立），若 \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \)，则无最小值，需用单调性；

恒成立与存在性混淆：牢记 “恒成立看最值，存在性看极值”，避免符号错误。

2. 备考优先级建议

夯实基础融合题型：先掌握 “三角函数值域解不等式”“单调性证不等式”，这两类占高考此类题的 60% 以上；

突破二次函数转化：熟练 “三角换元→二次不等式恒成立” 的流程，适配含参题型；

积累放缩结论：牢记 \( \sin x < x < \tan x \)（\( x>0 \)）、\( \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \) 等常用放缩式，加速证明题解题；

多练压轴真题：近 5 年全国卷、新高考卷中的融合题（如 2023 全国 I 卷 22 题、2022 新高考 I 卷 21 题）至少做 2 遍，总结命题规律。

3. 解题步骤口诀（快速记忆）

“三角不等式，先看域与性；

换元转二次，导数判单调；

恒成立找最值，存在性看极值；

放缩需合理，步骤要严谨。”