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第十六章    分式  

一、分式

1. 分式:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零,分式值为零的条件分子为零且分母不为零 )

2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式,分式的值不变。用式子表示如下:(C≠0) 其中A,B,C是整式

3.最简公分母:取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。

4.通分:分子和分母同乘最简公分母,不改变分式值,把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。(分母为多项式时要分解因式)

5.约分:约去分子和分母的公因式,不改变分式值,这个过程叫约分。

二、分式的运算

1.分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 

2.分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 

上述法则可以用式子表示:

3.  分式乘方法则:一般地,当n为正整数时。

这就是说,分式乘方要把分子、分母分别乘方。

4.分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。

上述法则可用以下式子表示:

5.整数指数幂

任何一个不等于0的数的0次幂等于1, 即;

当n为正整数时,  也就是说an(a≠0)是a-n的倒数。

正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)

(1)同底数的幂的乘法:;

(2)幂的乘方:;

(3)积的乘方:;

(4)同底数的幂的除法:( a≠0);

(5)商的乘方:( n是正整数);(b≠0)

三、分式方程

1. 分式方程:分母中含未知数的方程叫分式方程。

(解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。)更多内容,关注公众号:中小学云课堂

2.解分式方程的步骤 :(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根。

3.分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。 

四、列方程应用题

1.列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答。

2.应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种:

(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间     而行程问题中又分相遇问题、追及问题. 

(2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

(3)工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.

(4)顺水逆水问题   v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

五、科学记数法:

把一个数表示成的形式(其中,n是整数)的记数方法叫做科学记数法。

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是n-1。

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数的负数(包括小数点前面的一个0)。

第十七章    反比例函数 

一、反比例函数

1.反比例函数:一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。其他形式xy=k  

2.反比例函数的图象和性质

①图像:反比例函数的图像属于双曲线。

它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

②性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;   当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大。 ③|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。K=xy

二、实际问题与反比例函数

由于在反比例函数中,只有一个待定系数k,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k (K=xy)的值,从而确定其反比例函数解析式。一般用待定系数法。

第十八章    勾股定理 

一、勾股定理

1.勾股定理:命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。

2.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。2.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 

3.逆命题:我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)

第十九章    四边形

19.1平行四边行

19.1.1平行四边形的性质

1.平行四边形定义: 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 

2.平行四边形的性质:①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等。③平行四边形的对角线互相平分。 

19.1.2平行四边形的判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形; 

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 

5.三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段。三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

19.2特殊的平行四边形

19.2.1矩形

1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线平分且相等。AC=BD

3.矩形判定定理:①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。 ③有三个角是直角的四边形是矩形。

4.黄金矩形:宽和长的比是(约为0.618)的矩形叫做。 

19.2.2菱形

1.菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质:①菱形的四条边都相等;②菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形的判定定理:①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。③四条边相等的四边形是菱形。

S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)

19.2.3正方形

1.正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2.正方形的性质:四条边都相等,四个角都是直角。

3.正方形判定定理:①邻边相等的矩形是正方形。②有一个角是直角的菱形是正方形。

19.3梯形

1.梯形:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2.直角梯形:有一个角是直角的梯形

3.等腰梯形:两腰相等的梯形。

4.等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个角相等;②等腰梯形的两条对角线相等。更多内容,关注公众号:中小学云课堂

5.等腰梯形判定定理:①同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

6.解梯形问题常用的辅助线:如图

19.4课题学习 重心

重心:是物体的质量中心,能够保持物体平衡的点就是重心。(是一个平衡点)①线段的重心就是线段的中点。② 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。③三角形的三条中线交于一点,这一点就是三角形的重心。 

第二十章    数据的分析

20.1数据的代表

20.1.1平均数:包括加权平均数和算术平均数。加权平均数与算术平均数类似,不同点在于,数据中的每个点对于平均数的贡献并不是相等的,有些点要比其他的点更加重要。加权平均数的概念在描述统计学中具有重要的意义,并且在其他数学领域产生了更一般的形式。如果所有的权重相同,那么加权平均数与算术平均数相同。加权平均数作为算术平均数的更广义的表现形式

1.加权平均数:加权平均数的计算公式。  

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。学会权没有直接给出数量,而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

20.1.2中位数和众数

1.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 

2.众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 

20.2.数据的波动

20.2.1极差

1.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 

20.2.2方差

方差的定义:衡量一组数据的波动大小的一个数据s2,其计算方法如下: 

备注:方差等于各数据与平均数的差的平方的平均数

1.方差:方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。 

2. 平均数:平均数受极端值的影响,众数不受极端值的影响,这是一个优势,中位数的计算很少不受极端值的影响。

20.3课题学习 体质健康测试中的数据分析

7.数据的收集与整理的步骤:1.收集数据    2.整理数据    3.描述数据   4.分析数据    5.撰写调查报告   6.交流  

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