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⒈正数和负数的概念:

⑴ 负数:比 0 小的数。

⑵ 正数:比 0 大的数 0 既不是正数,也不是负数。

注意 :①字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时, -a 是负数;当 a 表示负数时, -a 是正数;当 a 表示 0

时, -a 仍是 0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,

例如 +a,-a 就不能做出简单判断)

②正数有时也可以在前面加“ +”,有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。

③0 既不是正数,也不是负数。

2. 具有相反意义的量:

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:

零上 8℃表示为: +8℃;零下 8℃表示为: -8 ℃

3.0 表示的意义:

⑴ 0 表示“ 没有”,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人;

⑵ 0 是正数和负数的分界线, 0 既不是正数,也不是负数。

二、有理数:

1. 有理数的概念:

⑴ 正整数、 0、负整数统称为整数( 0 和正整数统称为自然数) ; ⑵ 正分数和负分数统称为分数;

⑶ 正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解 :只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

注意 :引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像 -2,-4,-6,-8 …也是偶数, -1,-3,-5 …也是奇数。

2. 有理数的分类:

⑴按有理数的意义分类: ⑵按正、负来分:

正整数 正整数

整数 0 正有理数

负整数 正分数

有理数 有理数 0 (0 不能忽视)

正分数 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数

总结 :①正整数、 0 统称为非负整数(也叫自然数) ;

②负整数、 0 统称为非正整数;

③正有理数、 0 统称为非负有理数;

④负有理数、 0 统称为非正有理数。

三、数轴:

⒈数轴的概念: 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

注意 :⑴ 数轴是一条向两端无限延伸的直线;

⑵ 原点、正方向、单位长度是 数轴三要素 ,三者缺一不可;

⑶ 同一数轴上的单位长度要统一;

⑷ 数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2. 数轴上的点与有理数的关系:

⑴ 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示, 正有理数可用原点右边的点表示, 负有理数可用原点左边的点

表示, 0 用原点表示。

⑵ 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来, 但数轴上的点不都表示有理数, 也就是说, 有理数与数轴上

的点不是一一对应关系。 (如,数轴上的点 π不是有理数)

3. 利用数轴表示两数大小:

⑴ 在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵ 正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数;

⑶ 两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4. 数轴上特殊的最大(小)数:

⑴ 最小的自然数是 0,无最大的自然数;

⑵ 最小的正整数是 1,无最大的正整数;

⑶ 最大的负整数是 -1 ,无最小的负整数

5.a 可以表示什么数 : ⑴ a>0 表示 a 是正数;反之, a 是正数,则 a>0; ⑵ a<0 表示 a 是负数;反之, a 是负数,则 a<0 

⑶ a=0 表示 a 是 0;反之, a 是 0, ,则 a=0 

6. 数轴上点的移动规律:

根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几, 向右移动几个单位长度则加上几, 则得到所需的点的位置。

四、相反数:

⒈相反数:

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数, 0 的相反数是 0。

注意 :⑴ 相反数是成对出现的;

⑵ 相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

⑶ 0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 0。

2. 相反数的性质与判定:

⑴ 任何数都有相反数,且只有一个;

⑵ 0 的相反数是 0; ⑶ 互为相反数的两数和为 0,和为 0 的两数互为相反数,即 a, b 互为相反数,则 a+b=0。

3. 相反数的几何意义:

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点( 0

除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点;原点表示 0 的相反数。

说明 :在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4. 相反数的求法:

⑴ 求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得(如: 5 的相反数是 -5 ); ⑵ 求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“ - ”,然后化简(如; 5a+b 的相反数是 - (5a+b)。

化简得 -5a-b ); ⑶ 求前面带“ - ”的单个数,也应先加括号再添“ - ”,然后化简 ( 如: -5 的相反数是 - (-5 ),化简得 5) 。

5. 相反数的表示方法:

⑴ 一般地,数 a 的相反数是 -a ,其中 a 是任意有理数,可以是正数、负数或 0。 当 a>0 时, -a<0 (正数的相反数是负数)

当 a<0 时, -a>0 (负数的相反数是正数)

当 a=0 时, -a=0 ,(0 的相反数是 0)

6. 多重符号的化简:

多重符号的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略; “- ”号的个数决定最后化简结果;

即:“- ”的个数是奇数时,结果为负, “- ”的个数是偶数时,结果为正。

五、绝对值:

1. 绝对值的几何定义: 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作 |a| 。

2. 绝对值的代数定义:

⑴ 一个正数的绝对值是它本身;

⑵ 一个负数的绝对值是它的相反数;

⑶ 0 的绝对值是 0。

可用字母表示为: 如果 a>0,那么 |a|=a ;如果 a<0,那么 |a|=-a ;如果 a=0,那么 |a|=0 。

可归纳为: ①: a≥0,<═ > |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。 ) ②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。 )

3. 绝对值的性质:

任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以, a 取任何有理数,都有 |a| ≥0。 ⑴ 0 的绝对值是 0;绝对值是 0 的数是 0. 即: a=0 < ═ > |a|=0 ; ⑵ 一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是 0。即: |a| ≥0; ⑶ 任何数的绝对值都不小于原数。即: |a| ≥a; ⑷ 绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若 |x|=a (a>0),则 x=±a; ⑸ 互为相反数的两数的绝对值相等。即: |-a|=|a| 或若 a+b=0,则 |a|=|b| ; ⑹ 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即: |a|=|b| ,则 a=b 或 a=-b ; ⑺ 若几个数的绝对值的和等于 0,则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0 ,则 a=0 且 b=0。

(非负数的常用性质:若几个非负数的和为 0,则有且只有这几个非负数同时为 0)

4. 有理数大小的比较:

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于

负数。

5. 绝对值的化简:

①当 a≥0 时, |a|=a ; ②当 a≤0 时, |a|=-a 

6. 已知一个数的绝对值,求这个数:

一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,

它们互为相反数,绝对值为 0 的数是 0,没有绝对值为负数的数。

六、有理数的加减法:

1. 有理数的加法法则:

法则一 :同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

法则二 :绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

法则三 :互为相反数的两数相加,和为零;

法则四 :一个数与零相加,仍得这个数。

2. 有理数加法的运算律:

⑴ 加法交换律 :a+b=b+a; ⑵ 加法结合律 :(a+b)+c=a+(b+c) 

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:

① 相反数结合法 :互为相反数的两个数先相加;

② 同号结合法 :符号相同的两个数先相加;

③ 同分母结合法 :分母相同的数先相加;

④ 凑整法 :几个数相加得到整数,先相加;

⑤ 同形结合法 :整数与整数、小数与小数相加。

3. 加法性质:

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加 0 后的和等于原数。即:

⑴ 当 b>0 时, a+b>a; ⑵ 当 b<0 时, a+b

4. 有理数减法法则:

法则 :减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为: a-b=a+(-b) 。

5. 有理数加减法统一成加法的意义:

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”

②按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”

6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

Ⅰ. 同号结合法: (把符号相同的加数相结合)

 (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 

原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)

=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)

=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)

=-49+41 (运用加法法则一进行运算)

=-8 (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ. 凑整法:(把和为整数的加数相结合)

 (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 

原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)


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