微积分是数学领域中一颗璀璨的明珠，是人类智慧的伟大成就之一。它主要研究函数的变化率和累积，包含微分和积分两个核心概念，是解决现实世界中诸多复杂问题的有力工具。

课程背景

微积分的思想源远流长，古希腊数学家阿基米德的相关著作中就已蕴含其萌芽，中国三国时期刘徽的割圆术也是极限思想的经典体现。到了 17 世纪，随着社会发展，基于天文、航海等实际需求，牛顿和莱布尼茨在前人基础上总结创立了微积分，使其成为数学的重要分支。

课程目标

通过本课程的学习，学生将深入理解微积分的基本概念，如极限、导数、积分等，掌握其核心思想，为后续学习更高深的数学知识及相关学科奠定坚实基础。同时，培养学生运用微积分知识解决实际问题的能力，提升数学分析能力和逻辑思维能力，让学生学会用微积分的视角去看待世界，将复杂现象拆解并重新组合，从而更好地理解和预测世界的连续变化。

课程内容概要

极限：极限是微积分的理论基础，它描述了变量在特定变化过程中的终极状态。通过学习极限，学生将理解函数在某一点附近的取值趋势，掌握极限的计算方法，为后续导数和积分的学习做好铺垫。

导数：导数反映了函数在某一点处的变化率，在几何上表现为曲线的切线斜率。课程将探讨导数的定义、计算方法及相关悖论，如 “导数的悖论”，帮助学生澄清对导数概念的理解。还会介绍用几何方法求导，以及链式法则、乘积法则等求导法则，让学生能够熟练计算各种函数的导数，包括指数函数求导、隐函数求导等常见类型。此外，还会涉及高阶导数的相关知识，进一步深入探讨函数变化率的变化情况。

积分与微积分基本定理：积分主要研究函数的累积变化，例如求曲边梯形的面积、物体运动的路程等都可借助积分来解决。微积分基本定理则建立了微分和积分之间的紧密联系，它表明定积分可以通过原函数来计算，是微积分理论体系中的关键定理。课程将详细讲解积分的概念、计算方法以及微积分基本定理的证明和应用，让学生明白面积和斜率之间的内在联系，体会微积分的精妙之处。

泰勒级数：泰勒级数是微积分中的重要内容，它可以将一个函数表示为幂级数的形式，便于对函数进行近似计算和分析函数的性质。通过学习泰勒级数，学生将掌握一种强大的函数逼近方法，进一步拓展对函数的认识和应用能力。

课程意义

微积分在众多领域都有着广泛的应用，是物理学、工程学、经济学等学科的重要基础。在物理学中，用于分析物体的运动、受力等；在工程学中，可用于解决结构设计、信号处理等问题；在经济学中，能帮助分析成本、收益、边际效应等。本课程将通过实际案例，展示微积分在这些领域的应用，让学生体会其强大的实用性和广泛的影响力，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力，激发学生学习微积分的兴趣和热情。

总之，“微积分的本质” 课程将以一种生动、直观且深入的方式，带领学生走进微积分的奇妙世界，揭示其核心概念和原理，让学生领略微积分的魅力与价值，掌握这一重要的数学工具，为未来的学习和研究打下坚实的基础。

课程目录

课程简介

导数的悖论

用几何来求导

直观理解链式法则和乘积法则

指数函数求导

隐函数求导是怎么回事？

极限

积分与微积分基本定理

面积和斜率有什么联系？

9 脚注 - 高阶导数

泰勒级数