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高考数学高频考点全解

名称：高考数学高频考点全解
分类：高考专题
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时间：2025/1/1 20:44:41

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函数与导数

函数的概念与性质

定义域和值域是函数的基本要素。例如，对于分式函数要注意分母不为零，偶次根式函数要保证被开方数非负。函数的单调性是高频考点，判断函数单调性可以用定义法（设，比较与的大小），也可以利用导数来判断。

函数的奇偶性也是重点，奇函数满足，图像关于原点对称；偶函数满足，图像关于轴对称。例如是奇函数，是偶函数。

基本初等函数

幂函数（为常数），不同的值有不同的性质和图像。指数函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减。对数函数，其定义域为，与指数函数互为反函数。

函数的图像变换

平移变换包括左右平移（，向左移，向右移）和上下平移（，向上移，向下移）。伸缩变换如（纵坐标伸长，纵坐标缩短）和（横坐标缩短，横坐标伸长）。

导数的概念与运算

导数的定义。求导公式包括，，等。导数的四则运算法则：，，。

导数的应用

利用导数判断函数单调性，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减。求函数的极值，令，判断在该点两侧导数的符号变化。求函数的最值，需要比较函数在区间端点和极值点处的值。例如，求函数在区间上的最值，先求导，令解得或，然后分别计算、、、的值，比较大小得到最值。

三角函数

三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式

设角终边上一点，，则，，。同角三角函数关系，。诱导公式用于化简三角函数，如，等。

三角函数的图像和性质

的图像是正弦曲线，周期是，值域是，在上单调递增，在上单调递减。的周期是，值域是，在上单调递增，在上单调递减。的周期是，定义域是，在上单调递增。

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：，，。二倍角公式，，。

解三角形

正弦定理（为三角形外接圆半径），用于已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角求其他边和角。余弦定理，，，用于已知三边求角或已知两边和它们的夹角求第三边。

数列

数列的概念和简单表示法

数列是按照一定顺序排列的一列数，通项公式可以表示数列的第项。例如，数列的通项公式为。数列的递推公式是表示数列相邻几项关系的公式，如。

等差数列

定义是（为常数，）。通项公式，前项和公式。例如，已知等差数列中，，求和，根据通项公式，根据前项和公式。

等比数列

定义是（为常数，）。通项公式，前项和公式。例如，等比数列中，，求和，根据通项公式，根据前项和公式。

数列求和

除了等差、等比数列的求和公式外，还有分组求和（将数列拆分成几个可以求和的数列）、裂项相消（如）、错位相减（用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的数列求和）等方法。

立体几何

空间几何体的结构、三视图和直观图

柱体（棱柱、圆柱）、锥体（棱锥、圆锥）、台体（棱台、圆台）和球体的结构特征。三视图包括正视图、侧视图和俯视图，它们之间的关系是长对正、高平齐、宽相等。直观图是用斜二测画法得到的，在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半。

空间几何体的表面积与体积

棱柱的表面积

侧

底

，体积

底

（为高）。圆柱的表面积（为底面半径，为高），体积。圆锥的表面积（为母线长），体积。球的表面积，体积（为球半径）。

空间点、直线、平面之间的位置关系

平面的基本性质包括公理 1（如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内）、公理 2（过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面）、公理 3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线）。直线与直线的位置关系有平行、相交、异面。直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。平面与平面的位置关系有平行、相交。

空间向量与立体几何

空间向量的坐标运算，设，，则，，。利用空间向量求线面角、二面角和点到平面的距离等。例如，求直线与平面所成的角，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则。

解析几何

直线与方程

直线的倾斜角和斜率（）。直线的点斜式方程，斜截式方程，两点式方程，截距式方程，一般式方程

不

同

时

为

。

圆与方程

圆的标准方程（为圆心坐标，为半径），一般方程（）。直线与圆的位置关系有相离（，为圆心到直线的距离）、相切（）、相交（）。