概率论与数理统计(浙江大学)

  • 名称:概率论与数理统计(浙江大学
  • 分类:考研数学  
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  • 时间:2019/3/30 20:09:54
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概率论与数理统计是数学一和数学三必考的课程之一。在概率9讲中有明确提到,学习概率的核心就是要明白概率统计的研究思想、并且能熟练使用微积分工具来研究概率。

 

因此大家在学习概率论与数理统计的时候应该注意以下几点: 


01

重视概念的甄别

 

在概率论中存在许多容易混淆的概念,如果不能认真区分,仔细加以甄别,就不能正确理解这些重要概念,在应用时就会产生各种各样的错误。


互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念。

“互不相容”是指两个事件不能同时发生。

而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响。


   随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念。

两个随机变量X,Y可能不相关,但也也不相互独立。


条件概率P(A|B)与乘积概率P(AB) 也是容易混淆的一对概念。

条件概率是已知某事件发生条件下,另一事件发生的概率,而乘积概率中所涉及的事件都没有“已经发生”的假定。两者的关系为

P(AB)=P(B)P(A|B)


02

提高分析和解决问题能力是关键

 

 在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型(简称“概型”),学生必须了解其背景、特点和适用范围,要熟记计算公式,以便能正确应用。例如:

(1)古典概型一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。

(2)完备事件组模型若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的一类概率模型。它主要用于某些复杂事件的计算——全概率公式,以及某些条件概率的计算——贝叶斯公式。

(3)贝努利概型与二项分布模型贝努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的概率模型,其特点是各个重复试验是独立进行的,且每次试验中仅有两个对立的结果:事件A发生或不发生,则在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

 

 

(4)泊松分布物理上存在一种质点流,称为泊松流,它是由源不断的随机出现的许多质点构成的一种随机质点流。例如,电话交换台所接到的呼唤形成一呼唤流,到某商店去购物的顾客形成一顾客流,经过某块天空的流星形成流星流,放射性物质不断放出的质点形成质点流等等。泊松流的主要特征之一就是在任意两个不相交的时间区间内各自出现的质点个数是相互独立的。加上另一些特征,即可导出泊松流的概率模型.

 (5)正态分布:最重要的概率模型:根据中心极限定理的意义可知:无数微小的,又相互独立作用的随机因素,如果它们同分布,则它们累加起来的总效应必定服从正态分布。这是正态分布应用最为广泛的根本原因。例如人体的身高、体重,测量的误差等都服从正态分布。

(6)均匀分布:“等可能”取值的连续化模型:如果连续随机变量X仅在某有限区间[ab]内取值,且具有概率密度

则称X服从区间[ab]上的均匀分布。

除以上6种常见的概率模型外,还有指数分布,随机变量的函数等模型,不再—一列举,可参考《概率论与数理统计9讲》有关内容。 


03

典型例题反复算


学生普遍反映本课程自学较难,除概念抽象外,恐怕一些特殊的计算方法也会带来不少学习上的困难。要突破这一点,最好的方法是将有关的典型例题读完后,合上书,认真复算一遍,边算边加深理解。


04

领会各种统计方法内在的统计思想

 

例如,极大似然估计法的主要统计思想是:如果在一次试验中,某个样本x1, x2,…,xn一旦出现,就有理由认为该样本出现的概率最大。具体操作时,只要利用总体的已知分布(其中包含待估的本知参数)构造样本的联合分布,即似然函数,再应用微积分的极值原理找出最大值点,即得极大似然估计量。

又如,区间估计实际上是以一定的把握(置信概率)去估计未知参数所落入的范围(置信区间)。区间估计方法最主要的统计思想是:设法构造一个与待估未知参数有关的统计量,利用它的抽样分布,在给定的置信概率下确定临界值,再作适当的概率恒等变形即可获得置信区间。简言之,就是以统计量及其抽样分布为武器,达到用样本推断总体的目的。

数理统计既然是用部分去推断总体,特别是区间估计和假设检验都只是根据一次抽样所得的样本值去下结论,这就不可能不犯错误,于是就产生了区间估计的可靠性(置信概率)和假设检验的两类错误问题。这就是说,数理统计工作者对实际问题下结论时往往不是简单地回答“是”或“非”,而是带有一定的犯错误的概率。这样做,既体现了实事求是的科学精神,又鼓励人们通过不断实践,经过多次试验逐步获得较为准确和可靠的结论。学生在学习数理统计这部分内容时应充分领会和把握统计方法的这一重要特色。 


05

注意概率统计中专用语言和符号的使用

 

根据历年考试的情况反映出学生的学习效果不容乐观。许多学生对基本知识和基本技能不能正确理解和掌握。例如,求得的概率是负值或大于1,方差小于0,相关系数大于1等错误大有人在;对于“至少发生1个”、“至多发生2个”等概率论专用语言不理解,从而不能正确表达事件;计算概率时,对有关事件ABC等或有关随机变量XY等的含义不事先设定;正态分布计算中对一般的正态变量不作“标准化变换”;关于事件或随机变量独立性的判定或证明更是错误百出,答非所问。特别是数理统计部分,许多考生或者放弃,或者胡乱解答一通。这些现象充分说明,学生一定要重视基本概念、基本原理和基本方法的真正理解和掌握。