★知识梳理★
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点
的距离之和为常数
的动点
的轨迹叫椭圆,其中两个定点
叫椭圆的焦点.
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点
与定直线
(定点
不在定直线
上)的距离之比是常数
(
)的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
性
质
参数关系
焦点
焦距
范围
顶点
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率
准线
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1)
,此时小球经过的路程为2(a－c);
(2)
, 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)
此时小球经过的路程为4a,故选D
1.短轴长为
，离心率
的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
2.已知
为椭圆
上的一点，
分别为圆
和圆
上的点，则
的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
3．设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（ ）
A.长轴在x轴上的椭圆 B.实轴在y轴上的双曲线
C.实轴在x轴上的双曲线 D.长轴在y轴上的椭圆
4．椭圆
的长轴长为（ ）
A．2 B.3 C.6 D. 9
5．已知椭圆
（
）的两个焦点为
,以
为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且
，则
等于___________.
1、利用椭圆的定义求椭圆的标准方程：
根据动点满足等式的几何意义，写出标准方程；
2、利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程：
建立关于
的方程或方程组；
3、利用待定系数法求椭圆的标准方程：
（1）如果明确椭圆的焦点在
轴上，那么设所求椭圆的方程为
（2）如果明确椭圆的焦点在
轴上，那么设所求椭圆的方程为
（3）如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不明确是在
轴上，还是在
轴上，那么方程可设为
，进而求解
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为
－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数
的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为
或
，
则
，
解之得：
，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为
或
.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数
的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
2．已知
是椭圆的两个焦点，过
的直线
交椭圆于
两点，若
的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．已知焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，它的长轴长等于圆
的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知方程
,讨论方程表示的曲线的形状
椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是
，求这个椭圆方程.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
解题方法归纳：
（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定
求出
的值，利用公式
直接求解
（2）由已知转化为
或
，利用公式
或变形
求解
（3）若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立关于
的关系式，化为关于
的齐次方程，再化为关于
的方程求解 ：或者化为关于
的齐次方程，求
再用
求解
[例3 ] 在
中，
．若以
为焦点的椭圆经过点
，则该椭圆的离心率
．
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出
的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
.
.
.
.
2.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆
的离心率为
3．已知椭圆方程
，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.
4．设
分别是椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，线段
的中点在
轴上，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．椭圆
与渐近线为
的双曲线有相同的焦点
,
为它们的一个公共点,且
,则椭圆的离心率为（ )
（A）
（B)
（C）
（D)
6．已知椭圆
的上、下顶点分别为
、
，左、右焦点分别为
、
，若四边形
是正方形，则此椭圆的离心率
等于
A．
B．
C．
D．
7．过点M（1，1）作斜率为﹣
的直线与椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．椭圆
的两个焦点分别是
，若
上的点
满足
，则椭圆
的离心率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
9．椭圆
＋
＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A．
B．
C．
D．
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数
满足
,求
的最大值与最小值
【解题思路】 把
看作
的函数
[解析] 由
得
,
当
时,
取得最小值
,当
时,
取得最大值6
【新题导练】
1.已知点
是椭圆
（
，
）上两点,且
,则
=
2.如图，把椭圆
的长轴
分成
等份，过每个分点作
轴的垂线交椭圆的上半部分于
七个点，
是椭圆的一个焦点
则
________________
3．已知椭圆
上存在两点
、
关于直线
对称，求
的取值范围.
四．椭圆的焦点三角形
例：已知椭圆的两焦点为
、
，
为椭圆上一点，且
。
（1）求此椭圆的方程；
（2）若
在第二象限，
，求
的面积。
1、圆
的焦点为
、
，点
在椭圆上，若
，则
；
的大小为 ；
2.设
是椭圆
上的一点，
、
为焦点，
，求
的面积。
3.已知点
是椭圆
上的一点，
、
为焦点，
，求点
到
轴的距离。
4.椭圆
的焦点为
、
，
为其上一动点，当
为钝角时，点
的横坐标的取值范围为 。
5.P为椭圆
上一点，
、
分别是椭圆的左、右焦点。（1）若
的中点是
，求证：
；（2）若
，求
的值。
、
及
；
7.设
分别是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，若△
为直角三角形，则△
的面积等于__
8.已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
，点P在椭圆上.
若P、
、
是一个直角三角形的三个顶点，则点P到
轴的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
或
拓展结论：已知P是椭圆
上的一点,
为椭圆的两焦点.
(1) 当
时，椭圆上存在4个点，使得
，且
；
(2) 当
时，椭圆上存在2个点，使得
，且
；
(3) 当
时，椭圆上不存在点，使得
，且
.
专题训练：
1.P为椭圆
上一点,
为焦点，满足
的点的个数为 .(4个)
2.已知
为椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内，则椭圆的离心率为 . (
)
3. 椭圆
的左右焦点分别为
，且在椭圆上存在点P,使得
,则实数M的取值范围为 .(
) 扩展
考点3 椭圆的最值问题
[例5 ]椭圆
上的点到直线l:
的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P(
). 那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点
，用
表示
后，把动点到直线的距离表示为
的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
1.椭圆
的内接矩形的面积的最大值为
2.
是椭圆
上一点，
、
是椭圆的两个焦点，求
的最大值与最小值
3.已知点
是椭圆
上的在第一象限内的点，又
、
，
是原点，则四边形
的面积的最大值是_________．
4．已知
是曲线
上的动点，则
的最大值为
A.
B.
C.
D.
5．点
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．若点
和点
分别为椭圆
的中心和右焦点，点
为椭圆上的任意一点，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．1
7．动点
在椭圆
上,若
点坐标为
,
,且
,则
的最小值是（ )
A.
B.
C.
D.
8．在椭圆
上有两个动点
，
为定点，
，则
的最小值为（ ）
A.6 B.
C.9 D.
9．若点O和点F分别为椭圆
＋
＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
·
的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
考点4.椭圆的中点弦问题
例： （1）已知动点
到直线
的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
1、直线
交椭圆
于A、B两点，
中点的坐标是
，则直线
的方程为
；
2、已知椭圆的方程是
，则以点
为中点的弦所在的直线方程是 ．
3.已知椭圆
的右焦点为
,过点
的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为
,则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．中心为
, 一个焦点为
的椭圆,截直线
所得弦中点的横坐标为
,则该椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.直线
过椭圆
的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为 ．
6．(本题满分12分)
已知定点
及椭圆
,过点
的动直线与该椭圆相交于
两点
(1)若线段
中点的横坐标是
,求直线
的方程;
7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
8、椭圆Ｃ：
的左右焦点分别为
、
，点
在椭圆Ｃ上，且
，
。
（I）求椭圆Ｃ的方程；
（II）若直线
过圆
的圆心
交椭圆于
、
两点，且
、
关于点
对称，求直线
的方程。
椭圆专题训练
设经过点F（1,0）的直线
与椭圆
交于A，B两点
（1）若点F恰好为AB的中点，求直线
的方程； （答案：x=1）
（2）若弦长
，求直线
的方程； （答案：
）
（3）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线
的方程；（答案：
）
（4）若以AB为直径的圆恰好经过左焦点
，求直线
的方程；（答案：
）
（5）若点M恰好在椭圆上，使得
，求直线
的方程；（答案：
）
（6）若
，求直线
的方程； （答案：
）
（7）若定点C（0，
），使得
，求直线
的方程；（答案：
）
（8）若动点P在x=2上，使得△PAB为正三角形，求直线
的方程；（答案：
）
（9）若动点P在x=2上，使得
，求直线
的方程；（答案：不存在）
（10）若直线
的斜率为1，使得△ABD为正三角形，求顶点D的坐标；
答案：
或
（11）若
，点T在椭圆上使得△TAB面积为
，求点T的个数；（答案：个数为4）
