全书概览
高中数学选择性必修第三册主要包括计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析三个部分。这些内容是高中数学概率与统计领域的重要组成部分，为学生进一步理解随机现象和数据分析提供了理论基础。
计数原理部分
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
原理内容
分类加法计数原理：完成一件事有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法…… 在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。例如，从甲地到乙地，可以乘火车、汽车或者飞机，火车有 3 趟，汽车有 2 趟，飞机有 1 趟，那么从甲地到乙地的走法共有种。
分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法…… 做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。比如，从地经地到地，从到有 3 条路，从到有 2 条路，那么从地经地到地共有种走法。
应用场景与解题思路
这两个原理用于解决计数问题。在解题时，首先要判断是分类还是分步问题。如果一件事情可以分成不同的类别，每一类都能独立完成这件事，就用分类加法计数原理；如果一件事情需要分成多个步骤，每个步骤都缺一不可，就用分步乘法计数原理。
排列与组合
概念与公式
排列：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作，公式为。例如，从个不同元素中取出个元素的排列数。
组合：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作，公式为。例如，从个不同元素中取出个元素的组合数。
排列组合的区别与联系
排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。例如，从三个元素中选两个元素排列有共种情况；而组合只有共种情况。它们之间的联系是。
应用场景与解题技巧
排列组合问题常用于解决人员安排、物品选取等实际问题。解题时要注意是否有顺序要求，对于复杂的问题可以采用间接法（先求总数，再减去不符合条件的情况）、捆绑法（将相邻元素看作一个整体）、插空法（先排其他元素，再插入指定元素）等技巧。
二项式定理
定理内容与公式
，其中，这个式子右边的多项式叫做的二项展开式，叫做二项式系数。例如，，这里。
二项式展开式的性质
二项式系数的性质有对称性（与首末两端 “等距离” 的两个二项式系数相等，即）、增减性与最大值（当是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当是奇数时，中间两项的二项式系数和相等且最大）等。
应用场景与解题思路
用于求二项展开式中的特定项（如常数项、含某一幂次的项），或者利用二项式系数的性质解决系数和等问题。在求特定项时，先根据通项公式确定的值，再计算该项。
随机变量及其分布部分
随机变量及其概率分布
随机变量的概念
设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，都有唯一的实数与之对应，就称为随机变量。例如，抛一枚硬币，规定正面向上记为，反面向上记为，那么这个试验中的随机变量可以取或。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量是指其可能取的值可以一一列出。设离散型随机变量所有可能取的值为，取每一个值的概率，则称表
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为离散型随机变量的概率分布列。例如，掷一个骰子，设随机变量表示掷出的点数，那么的分布列为
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二项分布与超几何分布
二项分布
若随机变量服从参数为的二项分布，记作，其概率分布列为。例如，重复抛次硬币，每次抛硬币正面向上的概率为，设表示正面向上的次数，则。
超几何分布
一般地，设有件产品，其中有件次品，从中任取件产品，用表示取出的件产品中的次品数，则服从参数为的超几何分布，记作，其概率分布列为（其中）。例如，从个产品（其中个次品）中任取个，设表示取出的次品数，则。
两种分布的比较与应用场景
二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），且每次试验成功的概率相同；超几何分布适用于不放回抽样问题。在实际应用中，要根据问题的特点选择合适的分布模型来解决概率计算问题。
正态分布
正态分布的概念与概率密度函数
若随机变量的概率密度函数为，其中为参数，则称服从正态分布，记作。正态分布的图象是一条钟形曲线，关于对称。
正态分布的性质与原则
性质包括曲线在轴上方，与轴之间的面积为等。原则是指在正态分布中，，这意味着随机变量几乎都落在区间内。例如，考试成绩近似服从正态分布，如果平均成绩为，标准差为，那么大约的成绩落在区间内。
应用场景
正态分布在实际生活中有广泛应用，如质量控制、考试成绩分析、生物特征统计等领域，用于估计数据在某个区间内的概率。
成对数据的统计分析部分
变量的相关性
相关关系的概念
两个变量之间的关系可以分为函数关系和相关关系。函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。例如，身高和体重之间有相关关系，一般来说，身高较高的人体重可能会较重，但不是绝对的，这与许多其他因素（如饮食习惯、运动情况等）有关。
散点图与线性相关
用散点图可以直观地表示两个变量之间的关系。如果散点图中的点大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系。可以通过计算相关系数来衡量两个变量之间线性相关的程度，，当时为正相关，当时为负相关，越接近，线性相关性越强。
一元线性回归模型及其应用
回归直线方程
设具有线性相关关系的两个变量的一组数据为，则回归直线方程为，其中，。通过最小二乘法得到回归直线方程，使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小。
模型检验与预测应用
可以用相关系数等来检验回归模型的拟合效果。在得到回归直线方程后，可以用它来进行预测，例如，根据身高预测体重等，但要注意预测的范围和准确性是有限的。
列联表与独立性检验
列联表的概念与结构
设为两个变量，每个变量都有两种类别，将样本数据按两个变量的类别进行分类，得到的表格称为列联表。例如，研究吸烟与患肺癌的关系，变量是吸烟情况（吸烟、不吸烟），变量是患肺癌情况（患肺癌、未患肺癌），可以列出相应的列联表。
独立性检验的基本思想与步骤
独立性检验的基本思想是通过比较观测值与期望值之间的差异来判断两个变量是否独立。步骤包括提出假设（假设两个变量相互独立）、计算卡方统计量（其中是样本容量，是列联表中的频数）、根据卡方分布确定临界值并作出判断。如果大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量不独立；否则，认为两个变量独立。这种方法用于分析两个分类变量之间是否存在关联。
