第一部分 集合

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还．．．．．

是因变量的取值？还是曲线上的点？„

2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩．．．．

图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决

3.(1) 元素与集合的关系：xAxCUA,xCUAxA.

（2）德摩根公式： CU(A

（3）B)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

ABAABBABCUBCUAACUB

CUABR

注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况.

（4）集合{a1,a2, ,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；

n非空真子集有2–2个.

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

 

第二部分 函数与导数

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

aba2b2

⑥利用均值不等式 ab； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 22

绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（a、sinx、cosx等）；⑨平方法；⑩ 导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 

5．函数的奇偶性:

⑪函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ．．．．

⑫f(x)是奇函数f(x)f(x)；f(x)是偶函数f(x)f(x).

⑬奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)0

⑭在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑮若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

⑪单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)； ⑫单调性的判定：①定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(xT)f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①ysinx:T2 ；②ycosx:T2 ；

③ytanx:T；④yAsin(x),yAcos(x):T2 ；||

⑤ytanx:T ||

(3)与周期有关的结论：

f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑪指数函数：ya(a0,a1)；⑫对数函数:ylogax(a0,a1)；

⑬幂函数：yx （R) ；⑭正弦函数:ysinx；⑮余弦函数：ycosx ； x

（6）正切函数：ytanx；⑰一元二次函数：axbxc0（a≠0）；⑱其它常用函数： 

9．二次函数：

⑪解析式：①一般式：f(x)ax2bxc；

②顶点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为顶点；

③零点式：f(x)a(xx1)(xx2) （a≠0）.

⑫二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

b4acb2b二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是2a4a2a2 。



10．函数图象：

⑪图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑫图象变换：

① 平移变换：ⅰ)yf(x)yf(xa)，(a0)———左“+”右“－”； ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0) ———上“+”下“－”；

yf(x)；ⅱ)yf(x)yf(x)； ② 对称变换：ⅰ)yf(x)

xf(y)； ⅲ) yf(x)yf(x)； ⅳ)yf(x)

③ 翻折变换：

ⅰ)yf(x)yf(|x|)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；

ⅱ)yf(x)y|f(x)|———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； x0yx(0,0)y0