一、函数的概念

函数是高中数学中的重要概念，它是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

例如，一次函数 y = 2x + 1，对于定义域内的每一个 x 值，都有唯一确定的 y 值与之对应。

二、函数的三要素

定义域：函数中自变量 x 的取值范围。

例如，函数 y = √(x - 1)，其定义域为 x ≥ 1。

值域：函数值的集合。

比如，对于函数 y = x² ，当 x 取值范围为实数时，值域为 y ≥ 0 。

对应法则：确定函数关系的表达式。

三、常见函数类型

一次函数：y = kx + b （k、b 为常数，k ≠ 0）

当 k > 0 时，函数单调递增；当 k < 0 时，函数单调递减。

二次函数：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）

其图像是一条抛物线。当 a > 0 时，开口向上，对称轴为 x = -b / (2a) ，有最小值；当 a < 0 时，开口向下，有最大值。

反比例函数：y = k /x （k 为常数，k ≠ 0）

其图像是以原点为对称中心的两条曲线。

四、函数的性质

单调性

增函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁

减函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁ f (x₂) ，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数。

奇偶性

奇函数：对于一个定义域关于原点对称的函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (-x) = -f (x) 。

偶函数：对于一个定义域关于原点对称的函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (-x) = f (x) 。

例如，函数 f (x) = x³ 是奇函数，因为 f (-x) = (-x)³ = -x³ = -f (x) ；函数 f (x) = x² 是偶函数，因为 f (-x) = (-x)² = x² = f (x) 。

五、函数的图像变换

平移变换

向左平移 h 个单位：y = f (x + h)

向右平移 h 个单位：y = f (x - h)

向上平移 k 个单位：y = f (x) + k

向下平移 k 个单位：y = f (x) - k

对称变换

关于 x 轴对称：y = -f (x)

关于 y 轴对称：y = f (-x)

关于原点对称：y = -f (-x)