以下是一些量子力学习题精讲的内容：

基础概念类习题

光电效应：

知识点：光电效应是指在光照射下物体发射出电子的现象，其规律包括极限频率、光电子最大初动能与入射光强度无关、光电流强度与入射光强度的关系以及光电效应的瞬时性等.

例题：某种单色光照射某金属时不能产生光电效应，则下述措施中也许使金属产生光电效应的是（ ）A. 延长光照时间 B. 增大光的强度 C. 换用波长较短的光照射 D. 换用频度较低的光照射.

解析：由发生光电效应的条件可知，能否产生光电效应与入射光的频率和金属板的材料有关，当金属一定时，要发生光电效应，就只有增大入射光的频率，即入射光的波长变短，所以 C 选项正确.

德布罗意波长：

知识点：德布罗意波粒二象性指出，微观粒子具有波动性，其波长与动量的关系为，对于非相对论性粒子，.

例题：在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长.

解析：已知钠的价电子动能，远远小于电子的静止能量，可利用非相对论性的电子的能量 —— 动量关系式。由可得，再根据，代入数据可求出德布罗意波长。其中为普朗克常量，为电子质量.

算符与表象类习题

算符的本征值与本征函数：

知识点：若一算符满足，则为算符的本征值，为其对应的本征函数。一些常见算符的性质和关系需要牢记，如对易关系、反对易关系等.

例题：若一算符平方等于 1，则该算符的本征值为正负 1，即我们可以将其矩阵表示为对角元分别为 + 1 和 - 1 的二维矩阵表示.

解析：设的本征值为，本征函数为，则，两边同时作用可得，已知，所以，解得.

表象变换：

知识点：表象是量子力学中描述量子态和力学量的一种方式，不同表象之间可以通过幺正变换相互转换。在解决问题时，需要根据具体情况选择合适的表象，使问题简化.

例题：已知哈密顿量，的本征态为和，在和表象下的矩阵形式已知，求的本征值.

解析：首先写出在其自身表象下的矩阵形式，然后将的矩阵形式与之相加，得到的矩阵形式。再通过求解的本征方程，求出的本征值，其中为本征值，为单位矩阵.

薛定谔方程求解类习题

一维无限深势阱：

知识点：一维无限深势阱中粒子的势能函数为

或

，在势阱内，定态薛定谔方程为，其解为，能级为，.

例题：一粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为，求粒子的能级和对应的波函数.

解析：根据上述知识点，直接代入公式即可求出粒子的能级和波函数。在求解过程中，需要注意波函数的归一化条件和边界条件的应用.

势垒贯穿：

知识点：当粒子遇到势垒时，有一定概率贯穿势垒，这是量子力学中的隧道效应。对于一维方势垒

或

，通过求解薛定谔方程，可以得到粒子贯穿势垒的透射系数和反射系数，且满足。

例题：已知一维方势垒的高度为，宽度为，粒子的能量为，求粒子贯穿势垒的透射系数。

解析：在势垒的不同区域分别求解薛定谔方程，得到波函数的表达式，然后根据波函数在边界处的连续性条件，确定透射系数的表达式。一般情况下，透射系数与势垒的高度、宽度以及粒子的能量等因素有关，其表达式较为复杂，需要通过一定的数学推导得出。