《数学分析》课后习题精讲

一、课程目标

知识巩固

帮助学生深入理解数学分析课程中的基本概念、定理和公式。通过对课后习题的讲解，让学生明确知识点之间的联系与区别，巩固所学的理论知识。

解题能力提升

教授学生多种解题方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。使学生能够熟练运用所学知识解决各种类型的数学分析课后习题，包括证明题、计算题等，提高学生的解题效率和准确性。

应试准备

为学生参加课程考试、研究生入学考试等相关考试提供有力支持。让学生熟悉考试题型和命题规律，掌握应对不同难度习题的策略，增强学生的应试信心。

二、课程内容

（一）极限与连续

数列极限

基本概念回顾：详细讲解数列极限的定义（），通过实例让学生理解极限的 “” 定义的精确性。

习题类型与解法：

证明数列极限存在：如利用单调有界准则证明数列极限存在。例如，对于数列，先证明其单调递增且有上界，从而得出极限存在。

计算数列极限：讲解运用四则运算法则、夹逼准则、重要极限（如）等方法计算数列极限。例如，计算，可以通过分子分母同时除以，再利用极限的四则运算法则得出结果。

函数极限

定义与性质：讲解函数在一点处的极限（）以及函数极限的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性等。通过图形和实例帮助学生理解这些性质。

习题讲解：

证明函数极限：例如，证明，根据函数极限的定义，找到合适的与的关系来完成证明。

计算函数极限：介绍洛必达法则、等价无穷小替换等方法。如计算，既可以利用等价无穷小来计算，也可以通过洛必达法则进行求解。

函数的连续性

连续性定义与间断点分类：详细阐述函数在一点连续的定义（），并讲解间断点的分类（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和振荡间断点）。通过具体函数图像，如（处为无穷间断点），让学生直观地认识间断点的类型。

习题分析：

判断函数连续性：例如，判断函数在处的连续性，需要根据连续性的定义，计算函数在该点的左右极限并与函数值进行比较。

间断点问题：如求函数的间断点并分类，先化简函数，再根据间断点的定义进行判断和分类。

（二）导数与微分

导数的概念

定义与几何意义：回顾导数的定义（），并讲解其几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。通过实例，如求抛物线在点处的切线方程，让学生理解导数与切线的关系。

习题讲解：

利用定义求导数：例如，求函数在处的导数，按照导数定义的步骤，计算极限来得出结果。

导数的物理意义：对于一些物理量的变化率问题，如位移函数的导数是速度，速度函数的导数是加速度，通过具体的物理问题来加深学生对导数物理意义的理解。

求导法则与高阶导数

求导法则：详细讲解四则求导法则（，，）、复合函数求导法则（若，则）和反函数求导法则。通过具体函数，如，展示复合函数求导的过程。

高阶导数：介绍高阶导数的定义（），并讲解一些常见函数的高阶导数公式，如，。通过习题，如求函数的阶导数，让学生掌握高阶导数的计算方法。

微分

微分的定义与性质：讲解微分的定义（），并说明微分是函数增量的线性主部。通过实例，如计算函数在，时的增量和微分，让学生理解微分的概念。

习题分析：

计算函数的微分：例如，求函数的微分，先求导再根据微分定义计算。

利用微分进行近似计算：如利用微分近似计算，将其转化为函数在附近的近似计算问题。

（三）中值定理与导数的应用

中值定理

罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理：详细讲解三个定理的内容、条件和结论。通过图形和实例，如利用拉格朗日中值定理证明不等式，让学生理解中值定理的意义。

习题讲解：

定理的证明：例如，证明拉格朗日中值定理，可以通过构造辅助函数，利用罗尔定理来完成证明。

应用中值定理证明不等式和等式：如利用拉格朗日中值定理证明当时，。

洛必达法则

法则内容与适用条件：讲解洛必达法则的两种形式（型和型），即（在满足一定条件下）。强调使用洛必达法则时要注意检查是否满足条件。

习题分析：

正确使用洛必达法则：例如，计算，可以多次使用洛必达法则来求解，但要注意每一步都要检查是否符合法则的条件。

洛必达法则的失效情况：如，不能盲目使用洛必达法则，要通过其他方法（如等价无穷小等）来求解。

函数的单调性、凹凸性和极值

单调性与极值判定定理：讲解函数单调性的判定方法（若，则在区间上单调递增；若，则在区间上单调递减）和极值的第一、第二判定定理。通过函数图像，如，让学生直观地理解函数单调性与极值的关系。

凹凸性与拐点：介绍函数凹凸性的定义（若，则函数在区间上是凹的；若，则函数在区间上是凸的）和拐点的概念（凹凸性改变的点）。通过具体函数，如，分析其凹凸性和拐点。

习题讲解：

判断函数的单调性、凹凸性和极值：例如，分析函数的单调性、凹凸性和极值，先求导，再根据判定定理进行分析。

函数图像的描绘：综合利用函数的单调性、凹凸性、极值和渐近线等信息来描绘函数图像，如描绘函数的图像。

（四）不定积分

不定积分的概念与性质

原函数与不定积分定义：讲解原函数的定义（若，则是的原函数）和不定积分的定义（，其中为任意常数）。通过实例，如已知函数，求其原函数和不定积分，让学生理解概念。

基本积分公式与性质：介绍基本积分公式（如，等）和不定积分的性质（如，）。通过习题，如计算，让学生掌握基本积分公式和性质的应用。

换元积分法

第一类换元积分法（凑微分法）：详细讲解凑微分法的原理（若，且，则）。通过大量实例，如计算，将其凑成来求解，让学生熟练掌握凑微分的技巧。

第二类换元积分法：讲解第二类换元积分法的条件和方法（设是单调可导函数，且，则）。例如，对于，可以设进行换元求解。通过不同类型的习题，让学生理解两类换元积分法的区别和应用场景。

分部积分法

分部积分公式与原理：讲解分部积分公式（），并通过实例，如计算，设，，让学生理解如何选择和。

习题分析：

多次使用分部积分法：对于一些复杂的积分，如，需要多次使用分部积分法来求解。

综合应用换元积分法和分部积分法：如在计算时，先换元，再使用分部积分法来完成计算。

（五）定积分

定积分的概念与性质

定积分的定义与几何意义：详细讲解定积分的定义（），并通过图形解释其几何意义（当时，定积分表示曲边梯形的面积；当时，定积分表示曲边梯形面积的相反数）。通过实例，如利用定积分的定义计算，让学生理解定积分的概念。

定积分的性质：介绍定积分的基本性质，如线性性质（）、区间可加性（）等。通过习题，如利用定积分的性质计算，让学生掌握定积分性质的应用。

微积分基本定理

牛顿 - 莱布尼茨公式：详细讲解牛顿 - 莱布尼茨公式（，其中是的一个原函数），并通过实例，如计算，让学生体会公式的便利性。

变上限积分函数：介绍变上限积分函数（）及其导数（）。通过习题，如求函数的导数，让学生掌握变上限积分函数的求导方法。

定积分的计算方法

换元积分法与分部积分法在定积分中的应用：讲解定积分换元积分法（设，则，其中，）和分部积分法（）。通过具体例子，如计算，让学生掌握定积分计算方法的应用。

奇偶函数在对称区间上的定积分性质：介绍奇偶函数在对称区间上定积分的性质（若是奇函数，则；若是偶函数，则）。通过习题，如计算，让学生利用奇偶性简化定积分的计算。

三、课程学习建议

预习与复习

在学习每节习题讲解之前，学生应先预习对应的知识点和课后习题，尝试自己解题，标记出难以理解的概念和无法解决的习题。课后要及时复习讲解内容，总结解题方法和技巧，重新做一遍错题，加深理解。

多做练习

数学分析课后习题是巩固知识的重要手段。除了课程讲解的习题外，学生还应多做教材中的其他习题以及相关参考书籍中的练习题，通过大量练习来提高解题能力和对知识的掌握程度。

建立错题本

建立错题本，将做错的习题整理到错题本上，分析做错的原因，如概念不清、计算错误、方法不当等。在复习时，重点回顾错题本上的题目，避免再次犯错。

知识串联

数学分析各章节的知识是相互联系的。在学习过程中，要注意将极限、导数、积分等知识串联起来，理解它们之间的内在逻辑关系，形成完整的知识体系。例如，导数和积分是互逆的运算，中值定理在导数和积分的应用中都起到重要作用。