一、平面向量基础

向量的概念

定义：既有大小又有方向的量叫做向量。例如，物理中的力就是向量，它有大小（力的大小）和方向（力的作用方向）。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：通常用小写字母、、等表示向量，也可以用有向线段的起点和终点字母来表示，比如，其中是起点，是终点。

零向量：长度为的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于个单位长度的向量叫做单位向量。对于任意非零向量，与它同方向的单位向量是。

向量的运算

加法运算

三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即。

平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是与的和。

减法运算：向量与的差定义为。可以通过三角形法则来计算，例如，，那么。

数乘运算：实数与向量的乘积是一个向量，记作。当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，，且。

向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使得，有序数对叫做向量的坐标，记作。

若，，则，，。

向量的数量积

定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即。当或为零向量时，。

几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。

运算律：=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c})，。

坐标运算：若，，则。

二、平面向量提高

向量共线与垂直的条件

共线条件：向量与向量共线的充要条件是。从几何角度看，两个向量共线意味着它们的方向相同或相反。例如，若，则与共线。

垂直条件：向量与向量垂直的充要条件是，即。在平面直角坐标系中，若向量，，因为，所以。

向量在几何中的应用

证明几何问题：例如证明平行四边形的对角线互相平分。设平行四边形，，，则，。设与交点为，根据向量关系可以证明，。

求解几何中的长度和角度问题：利用向量的数量积可以求夹角。若已知向量和，则。对于求长度，（若）。

平面向量与其他数学知识的综合应用

与三角函数的综合：例如已知向量，，则，这种关系在三角函数的化简和求值中有广泛应用。

与解析几何的综合：在直线的方向向量等概念中有体现。若直线的斜率为，它的一个方向向量可以表示为，利用向量可以方便地研究直线的平行、垂直等关系。