考研数学《接力题典1800》：

接力题典1800是一本由复旦大学出版社出版的考研数学书籍，全书共有1800道接力题，涵盖了考研数学中常见的基本知识点和重要考点，包括微积分、线性代数、概率论、数论、复变函数等。每一道题都给出了详细的解题步骤，帮助考生更好地理解和掌握知识点，为考生备考考研数学打下坚实的基础。

1.设$a,b,c$为实数，求解不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值。

解：

令$f(a,b,c)=\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}-\frac{a+b+c}{3}$，

由于$f(a,b,c)$是关于$a,b,c$的三次函数，且$f(a,b,c)$的偏导数都为正，

因此$f(a,b,c)$的最小值是$f(a,b,c)$的极小值，

设$f(a,b,c)$的极小值为$f_{min}$，

则$f(a,b,c)>f_{min}$，即$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}+f_{min}$。

令$a=b=c=1$，则$f(1,1,1)=\frac{1}{2}-\frac{3}{3}=\frac{-1}{2}$，

因此$f_{min}=\frac{-1}{2}$，

即不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值为$\frac{-1}{2}$。