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⾼⼀数学必修⼀知识点总结

  ⾼⼀数学必修⼀的学习,需要⼤家对知识点进⾏总结,这样⼤家最⼤效率地提⾼⾃⼰的学习成绩,

今天公⽂⼩编收集整理了⾼⼀数学必修⼀知识点总结,欢迎阅读!

  ⾼⼀数学必修⼀知识点总结篇1

  知识点总结

  本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的

图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数

的图象的基础,函数的图象是它们的综合。所以理解了前⾯的⼏个知识点,函数的图象就迎刃⽽解了。

  ⼀、函数的单调性

1、函数单调性的定义

2、函数单调性的判断和证明:(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法

  ⼆、函数的奇偶性和周期性

1、函数的奇偶性和周期性的定义

2、函数的奇偶性的判定和证明⽅法

3、函数的周期性的判定⽅法

  三、函数的图象

1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法

2、图象变换包括图象:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

  常见考法

  本节是段考和⾼考必不可少的考查内容,是段考和⾼考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答

题都有,并且题⽬难度较⼤。在解答题中,它可以和⾼中数学的每⼀章联合考查,多属于拔⾼题。多考

查函数的单调性、最值和图象等。

  误区提醒

1、求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须⽤区间来表⽰,不能⽤集合或不等式,单调区间⼀般写成开区间,不必考虑端点

问题。

3、在多个单调区间之间不能⽤“或”和“”连接,只能⽤逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性,⾸先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数

⼀定是⾮奇⾮偶函数。

5、作函数的图象,⼀般是⾸先化简解析式,然后确定⽤描点法或图象变换法作函数的图象。

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

   (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 

第 1 页

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零, 

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

◆相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

第 2 页

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(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

(2) 画法

A、描点法:

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念

第 3 页

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”

第 4 页

对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数   

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。

第 5 页

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

第 6 页

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:

 任取x1,x2∈D,且x1

 作差f(x1)-f(x2);

 变形(通常是因式分解和配方);

 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

第 7 页

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤:

第 8 页

首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

确定f(-x)与f(x)的关系;

作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:

1)凑配法

2)待定系数法

第 9 页

3)换元法

4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

 利用图象求函数的最大(小)值

 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

第 10 页

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

例题:

1.求下列函数的定义域:

⑴        ⑵   

2.设函数的定义域为,则函数的定义域为_  _   

3.若函数的定义域为,则函数的定义域是         

4.函数 ,若,则=           

第 11 页

5.求下列函数的值域:

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

6.已知函数,求函数,的解析式

7.已知函数满足,则=             。

8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=   

  在R上的解析式为                       

9.求下列函数的单调区间:

⑴   ⑵  ⑶ 

10.判断函数的单调性并证明你的结论.

第 12 页

11.设函数判断它的奇偶性并且求证:.

第三章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.

◆负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

当是奇数时,,当是偶数时,

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

第 13 页

◆0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1)·        ;

(2)            ;

(3)        .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

第 14 页

a>1

0

定义域 R

定义域 R

值域y>0

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)

函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上,值域是或;

第 15 页

(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;

(3)对于指数函数,总有;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)

说明: 注意底数的限制,且;

 ;

 注意对数的书写格式.

两个重要对数:

 常用对数:以10为底的对数;

第 16 页

 自然对数:以无理数为底的对数的对数.

◆指数式与对数式的互化

幂值      真数

= N= b

                  底数

           指数              对数

(二)对数的运算性质

第 17 页

如果,且,,,那么:

 ·+;

 -;

   .

注意:换底公式

    (,且;,且;).

利用换底公式推导下面的结论

(1);(2).

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

第 18 页

注意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

 对数函数对底数的限制:,且.

2、对数函数的性质:

a>1

0

定义域x>0

定义域x>0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点(1,0)

函数图象都过定点(1,0)

(三)幂函数

第 19 页

1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;

第 20 页