【北京大学】数学分析全套公开课

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  • 时间:2021/10/6 16:27:08
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《数学分析》是基础数学专业、计算数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业、运筹学与控制论专业、系统理论专业硕士学位研究生入学考试的科目之一。

《数学分析》考试要求能反映数学学科的特点,科学、公平、准确地测试考生的基本素质和综合能力,很好地选拔具有科研发展潜力的优秀人才进入硕士阶段学习,为国家培养掌握现代数学方面的基础理论知识,具有较强分析与解决实际问题能力的高层次的应用型的和复合型的数学专业人才。

考查的知识及范围

1、变量与函数

函数的概念;复合函数和反函数;基本初等函数

2、极限与连续

数列的极限和无穷大量;函数的极限;连续函数

3、极限续论

关于实数的基本定理;闭区间上连续函数性质

4、导数与微分

导数的引进与定义;简单函数的导数;求导法则;复合函数求导法;微分及其运算;隐函数及参数方程所表示函数的求导法;不可导的函数举例;高阶导数与高阶微分

5、微分学的基本定理及其应用

微分中值定理;泰勒公式;函数的升降、凸性与极值;平面曲线的曲率;待定型;方程的近似解

6、不定积分

不定积分的概念及运算法则;不定积分的计算

7、定积分

定积分概念;定积分存在条件;定积分的性质;定积分计算

8、定积分的应用和近似计算

平面图形面积;曲线的弧长;体积;旋转曲面的面积;质心;平均值、功

9、数项级数

上极限与下极限;级数的收敛性及基本性质;正项级数;任意项级数;绝对收敛级和条件收敛级数的性质;无穷乘积

10、反常积分

无穷限的反常积分;无界函数的反常积分

11、函数项级数、幂级数

函数项级数的一致收敛性;幂级数;逼近定理

12、Fourier级数和Fourier变换

Fourier级数;Fourier变换

13、多元函数的极限与连续

平面点集;多元函数的极限和连续性

14、偏导数和全微分

偏导数和全微分的计算;求复合函数偏导数的链式法则;由方程(组)所确定的函数的求导法;空间曲线的切线与法平面;曲面的切平面与法线;方向导数和梯度;泰勒公式

15、极值和条件极值

 极值和最小二乘法;条件极值

16、隐函数存在定理、函数相关

隐函数存在定理;函数行列式的性质、函数相关

17、含参变量积分

含参变量的积分的定义;含参变量的积分的分析性质:连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理;含参变量的积分的计算。

18、含参变量的反常积分

参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法:Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法;一致收敛积分的分析性质:连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理;Beta函数和Gamma函数。

19、积分的定义和性质

二重、三重积分、第一类曲线、第一类曲面积分的概念;积分的性质

20、重积分的计算及应用

二重积分的计算;三重积分的计算;积分在物理上的应用;反常重积分

21、曲线积分和曲面积分的计算

第一类曲线积分的计算;第一类曲面积分的计算;第二类曲线积分;第二类曲面积分

22、各种积分间的联系和场论初步

各种积分间的联系;格林(Green)公式;高斯(Gauss)公式;斯托克司(Stokes)公式;曲线积分和路径的无关性;场论初步

第二部分  考察的知识及范围

一、极限论

(1)掌握数列极限,函数极限定义,会用数列极限、函数极限的定义证明有关极限问题;掌握函数有界、无界的定义,并会用其证明给定函数在给定区间上的有界性、无界性;掌握实数集上、下确界的定义。

(2)掌握收敛数列的性质及运算,掌握单调有界数列收敛定理、迫敛性法则、柯西收敛原理、归结原则及应用;掌握函数极限的性质及运算,会用两个重要极限来处理极限问题。

(3)掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系;掌握无穷小量阶的比较。

(4)理解和掌握连续函数的定义和运算,解决有关函数连续性问题;掌握不连续点的类型;掌握单侧极限的概念。

(5)掌握和应用闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性);掌握初等函数的连续性,理解复合函数的连续性,反函数的连续性。

(6)掌握实数连续性定理:闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。

(7)理解平面点集的基本概念,了解矩形套定理,致密性定理、有限覆盖定理;掌握二元函数的极限,二次极限,连续性概念及计算;掌握有界闭区域上多元连续函数的性质。

二、单变量微积分学

(1)理解和掌握导数与微分概念和几何意义;能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。

(2)理解可导性、连续性与可微性的关系;掌握导数的几何应用,微分在近似计算中的应用;掌握高阶导数的求法。

(3)掌握中值定理的内容、证明及其应用;能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限;掌握泰勒公式并能应用其解决近似计算、求极限等相关问题。

(4)掌握函数图形特征(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)的判定及描绘函数图形。

(5)掌握原函数和不定积分概念;熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法,并能利用它们来求函数的积分;会计算简单的无理函数的积分。

(6)理解定积分概念,掌握函数可积的条件;熟悉一些可积分函数类;掌握定积分与可变上限积分的性质;能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式,换元积分法,分部积分法计算定积分。

(7)掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;掌握"微元法"。

(8)掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。

(9)掌握含参变量定积分的性质及计算。

三、 多变量微积分学

(1)掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、高阶全微分等概念;了解多元函数可微、可导及连续的关系;掌握复合函数、隐函数的求导法则、由方程(组)所确定的函数的求导法则。

(2)掌握隐函数的存在性定理;会求曲线的切线方程和法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程;会求多元函数的极值(条件极值和无条件极值)。

(3)掌握二重、三重积分的概念和性质;会计算重积分;会求图形的面积,体积。

(4)掌握两类曲线积分的概念及计算;掌握两类曲线积分的性质;掌握两类曲线积分的关系;掌握Green公式并会用其计算有关积分 。

(5)掌握两类曲面积分的概念及计算;掌握两类曲面积分的性质;掌握两类曲面积分之间的关系;掌握Gauss公式、Stokes公式并会用其计算有关积分 。

四、级数论

(1)理解数项级数的收敛,发散,绝对收敛与条件收敛等概念;掌握数项级数的基本性质;熟练应用正项级数敛散性判别法(比较判别法、比式判别法、根式判别法和积分判别法)与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性;能熟练应用几何级数、调和级数与p级数的敛散性。

(2)掌握函数项级数(函数序列)收敛及一致收敛性概念;掌握一致收敛级数的性质,能够比较熟练地运用判断一致收敛性的判别法(Cauchy收敛准则, Weierstrass判别法,Abel判别法和Dirichlet判别法)判断函数项级数(函数序列)的一致收敛性。

(3)掌握幂级数,收敛半径、收敛域、和函数等概念;会求幂级数的收敛半径和收敛域;掌握幂级数的性质并能求和函数;会把函数展开成幂级数。

  (4)掌握三角函数系的正交性与周期函数的Fourier级数的概念和性质;掌握Fourier级数收敛性判别法;能将函数展开成Fourier级数。