线性代数知识点总结

1 行列式

(一)行列式概念和性质

1、逆序数:所有的逆序的总数

2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质:(用于化简行列式)

(1)行列互换(转置),行列式的值不变

(2)两行(列)互换,行列式变号

(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式

(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。

(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。

(6)两行成比例,行列式的值为0。

(二)重要行列式

4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 

6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则

7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:

(三)按行(列)展开

9、按行展开定理:

(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0

(四)行列式公式

10、行列式七大公式:

(1)|kA|=kn|A|

(2)|AB|=|A|·|B|

(3)|AT|=|A|

(4)|A-1|=|A|-1

(5)|A*|=|A|n-1

(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则   

(7)若A与B相似,则|A|=|B|

(五)克莱姆法则

 11、克莱姆法则:

(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0

(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。

2 矩阵

(一)矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项:

(1)矩阵乘法要求前列后行一致;

(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)

(3)AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置的性质(5条)

(1)(A+B)T=AT+BT

(2)(kA)T=kAT

(3)(AB)T=BTAT

(4)|A|T=|A|

(5)(AT)T=A

(二)矩阵的逆

3、逆的定义:

AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1

注:A可逆的充要条件是|A|≠0

4、逆的性质:(5条)

(1)(kA)-1=1/k·A-1(k≠0)

(2)(AB)-1=B-1·A-1

(3)|A-1|=|A|-1

(4)(AT)-1=(A-1)T

(5)(A-1)-1=A

5、逆的求法:

(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解

(2)A为数字矩阵:(A|E)初等行变换(E|A-1)

(三)矩阵的初等变换

6、初等行(列)变换定义:

(1)两行(列)互换;

(2)一行(列)乘非零常数c

(3)一行(列)乘k加到另一行(列)

7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质:

(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵

(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);

Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)

Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)

★(四)矩阵的秩

9、秩的定义:非零子式的最高阶数

注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O

(2)r(An×n)=n(满秩) |A|≠0A可逆;

r(A)<n|A|=0A不可逆;

(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩的性质:(7条)

(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)

(2)r(A±B)≤r(A)±(B)

(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}

(4)r(kA)=r(A)(k≠0)

(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)

(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n

11、秩的求法:

(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;

(2)A为数字矩阵:A初等行变换阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数

(五)伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质:(8条)

(1)AA*=A*A=|A|E     ★A*=|A|A-1

(2)(kA)*=kn-1A*

(3)(AB)*=B*A*

(4)|A*|=|A|n-1

(5)(AT)*=(A*)T

(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1

(7)(A*)*=|A|n-2·A

★(8)r(A*)=n   (r(A)=n);

       r(A*)=1   (r(A)=n-1);

       r(A*)=0   (r(A)<n-1)

(六)分块矩阵

13、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。

14、分块矩阵求逆:

3 向量

(一)向量的概念及运算

1、向量的内积:(α,β)=αTβ=βTα

2、长度定义: ||α||=

3、正交定义:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0

4、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AAT=E  A-1=AT  ATA=E  |A|=±1

(二)线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件:

非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示

(1)非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。

(2)r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)

6、线性表示的充分条件:(了解即可)

若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。

7、线性表示的求法:(大题第二步)

设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。

(α1,α2,…,αs|β)初等行变换(行最简形|系数)

行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0

(三)线性相关和线性无关

8、线性相关注意事项:

(1)α线性相关α=0

(2)α1,α2线性相关α1,α2成比例

9、线性相关的充要条件:

向量组α1,α2,…,αs线性相关

(1)有个向量可由其余向量线性表示;

(2)齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;

(3)r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于个数

特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关

(1)r(α1,α2,…,αn)<n

(2)|α1,α2,…,αn|=0

(3)(α1,α2,…,αn)不可逆

10、线性相关的充分条件:

(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关

(2)部分相关,则整体相关

(3)高维相关,则低维相关

(4)以少表多,多必相关

推论:n+1个n维向量一定线性相关

11、线性无关的充要条件

向量组α1,α2,…,αs线性无关

(1)任意向量均不能由其余向量线性表示;

(2)齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

(3)r(α1,α2,…,αs)=s

特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关

r(α1,α2,…,αn)=n   |α1,α2,…,αn|≠0  矩阵可逆

12、线性无关的充分条件:

(1)整体无关,部分无关

(2)低维无关,高维无关

(3)正交的非零向量组线性无关

(4)不同特征值的特征向量无关

13、线性相关、线性无关判定

(1)定义法

(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关

【专业知识补充】

(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。

(2)若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。

r(β1,β2,β3)=3  r(C)=3  |C|≠0

(四)极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比:矩阵的秩:非零子式的最高阶数

注:向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等

16、极大线性无关组的求法

(1)α1,α2,…,αs为抽象的:定义法

(2)α1,α2,…,αs为数字的:

(α1,α2,…,αs)初等行变换阶梯型矩阵

则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

(五)向量空间

17、基(就是极大线性无关组)变换公式:

若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Cn×n

其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。

C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)

18、坐标变换公式:

向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即γ=x1α1+ x2α2+ …+xnαn=y1β1 +y2β2 +… +ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)

(六)Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设α1,α2,α3线性无关

(1)正交化

令β1=α1

(2)单位化

4 线性方程组

(一)方程组的表达形与解向量

1、解的形式:

(1)一般形式

(2)矩阵形式:Ax=b;

(3)向量形式:A=(α1,α2,…,αn)

2、解的定义:

若η=(c1,c2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)

(二)解的判定与性质

3、齐次方程组:

(1)只有零解r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)

(2)有非零解r(A)<n

4、非齐次方程组:

(1)无解r(A)<r(A|b)r(A)=r(A)-1

(2)唯一解r(A)=r(A|b)=n

(3)无穷多解r(A)=r(A|b)<n

5、解的性质:

(1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

(2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解

(3)若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解

【推广】

(1)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+…+ksηs为

        Ax=b的解  (当Σki=1)

        Ax=0的解  (当Σki=0)

(2)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式:η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2

η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1

(三)基础解系

6、基础解系定义:

(1)ξ1,ξ2,…,ξs是Ax=0的解

(2)ξ1,ξ2,…,ξs线性相关

(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示

基础解系即所有解的极大无关组

注:基础解系不唯一。

任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。

7、重要结论:(证明也很重要)

设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O

(1)B的列向量均为方程Ax=0的解

(2)r(A)+r(B)≤n(第2章,秩)

8、总结:基础解系的求法

(1)A为抽象的:由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解

(2)A为数字的:A初等行变换阶梯型

自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系

(四)解的结构(通解)

9、齐次线性方程组的通解(所有解)

设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,

则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)

10、非齐次线性方程组的通解

设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,

则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)

(五)公共解与同解

11、公共解定义:

如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解

12、非零公共解的充要条件:

方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

 有非零解

13、重要结论(需要掌握证明)

(1)设A是m×n阶矩阵,则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,r(ATA)=r(A)

(2)设A是m×n阶矩阵,r(A)=n,B是n×s阶矩阵,则齐次方程ABx=0与Bx=0同解,r(AB)=r(B)

5 特征值与特征向量

(一)矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义:

设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义:

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式(λ的n次多项式)。

|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程(λ的n次方程)。

注:特征方程可以写为|A-λE|=0

3、重要结论:

(1)若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

(2)A的各行元素和为k,则(1,1,…,1)T为特征值为k的特征向量。

(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

4、总结:特征值与特征向量的求法

(1)A为抽象的:由定义或性质凑

(2)A为数字的:由特征方程法求解

5、特征方程法:

(1)解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn

注:n次方程必须有n个根(可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略)

(2)解齐次方程(λiE-A)=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(λiE-A)个解)

6、性质:

(1)不同特征值的特征向量线性无关

(2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量

      1≤n-r(λiE-A)≤ki

(3)设A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σaii

(4)当r(A)=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα,λ2=…=λn=0

(5)设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则

A

f(A)

AT

A-1

A*

P-1AP(相似)

λ

f(λ)

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

(二)相似矩阵

7、相似矩阵的定义:

设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B

8、相似矩阵的性质

(1)若A与B相似,则f(A)与f(B)相似

(2)若A与B相似,B与C相似,则A与C相似

(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和)

【推广】

(4)若A与B相似,则AB与BA相似,AT与BT相似,A-1与B-1相似,A*与B*也相似

(三)矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义:

如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ= ,

称A可相似对角化。

注:Aαi=λiαi(αi≠0,由于P可逆),故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量

10、相似对角化的充要条件

(1)A有n个线性无关的特征向量

(2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

11、相似对角化的充分条件:

(1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关)

(2)A为实对称矩阵

12、重要结论:

(1)若A可相似对角化,则r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)为零特征值的个数

(2)若A不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数

(四)实对称矩阵

13、性质

(1)特征值全为实数

(2)不同特征值的特征向量正交

(3)A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

(4)A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

6 二次型

(一)二次型及其标准形

1、二次型:

(1)一般形式

(2)矩阵形式(常用)

2、标准形:

如果二次型只含平方项,即f(x1,x2,…,xn)=d1x12+d2x22+…+dnxn2

这样的二次型称为标准形(对角线)

3、二次型化为标准形的方法:

(1)配方法:

通过可逆线性变换x=Cy(C可逆),将二次型化为标准形。其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

(2)正交变换法:

通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中,λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵

注:正交矩阵Q不唯一,γi与λi对应即可。

(二)惯性定理及规范形

4、定义:

正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;

负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;

规范形:f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理:

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。

注:(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一。

(2)p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=r(A)

(三)合同矩阵

6、定义:

A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B合同

7、总结:n阶实对称矩阵A、B的关系

(1)A、B相似(B=P-1AP)相同的特征值

(2)A、B合同(B=CTAC)相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数

(3)A、B等价(B=PAQ)r(A)=r(B)

注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价

(四)正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义

二次型xTAx,如果任意x≠0,恒有xTAx>0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件:

(1)A的正惯性指数为n

(2)A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=CTC或CTAC=E

(3)A的特征值均大于0

(4)A的顺序主子式均大于0(k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式)

10、n元二次型xTAx正定必要条件:

(1)aii>0

(2)|A|>0

11、总结:二次型xTAx正定判定(大题)

(1)A为数字:顺序主子式均大于0

(2)A为抽象:证A为实对称矩阵:AT=A;再由定义或特征值判定

12、重要结论:

(1)若A是正定矩阵,则kA(k>0),Ak,AT,A-1,A*正定

(2)若A、B均为正定矩阵,则A+B正定

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