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相交线与平行线知识点

5.1相交线

5.1.1相交线

有一个公共的顶点,有一条公共的边,另外一边互为反向延长线,这样的两个角叫做邻补角。

两条直线相交有4对邻补角。

有公共的顶点,角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角。

两条直线相交,有2对对顶角。

对顶角相等。

5.1.2

两条直线相交,所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

注意:⑴垂线是一条直线。

⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情况。

⑷垂直的记法:a⊥b,AB⊥CD。

画已知直线的垂线有无数条。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简单说成:垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。

5.2平行线

5.2.1平行线

在同一平面内,两条直线没有交点,则这两条直线互相平行,记作:a∥b。

在同一平面内两条直线的关系只有两种:相交或平行。

平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

5.2.2直线平行的条件

两条直线被第三条直线所截,在两条被截线的同一方,截线的同一旁,这样的两个角叫做同位角。

两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的两侧,这样的两个角叫做内错角。

两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的同一旁,这样的两个角叫做同旁内角。

判定两条直线平行的方法:

方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。

方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。

方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简单说成:同旁内角互补,两直线平行。

5.3平行线的性质

平行线具有性质:

性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简单说成:两直线平行,同位角相等。

性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单说成:两直线平行,内错角相等。

性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简单说成:两直线平行,同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做着两条平行线的距离。

判断一件事情的语句叫做命题。

5.4平移

⑴把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。

⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。

图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移。

一、平方根

1、平方根

(1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

(3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3

(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;0的平方根是0.

(5)符号:正数a的正的平方根可用图片

表示,图片也是a的算术平方根;正数a的负的平方根可用-图片表示.

(6)图片    <—>  图片

a是x的平方              x的平方是a

x是a的平方根           a的平方根是x

2、算术平方根

(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即图片,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为图片,读作“根号a”,a叫做被开方数.

规定:0的算术平方根是0.

也就是,在等式图片 (x≥0)中,规定 x=图片。

(2)图片的结果有两种情况:当a是完全平方数时,图片是一个有限数;当a不是一个完全平方数时,图片是一个无限不循环小数。

(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小

(5)图片 (x≥0)    <—>    图片

a是x的平方                    x的平方是a

x是a的算术平方根          a的算术平方根是x

(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

图片

(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:

区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

二、立方根  

1、立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果图片,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

2、一个数a的立方根,记作图片,读作:“三次根号a”,其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。

3、一个正数有一个正的立方根;

 0有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立方根; 任何数都有唯一的立方根。

4、利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即图片。

5、图片   <—>   图片

a是x的立方            x的立方是a

x是a的立方根         a的立方根是x

6、图片,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、实数

一、实数的概念及分类

无理数:像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。

实数:有理数和无理数统称实数。

1、实数的分类

图片

2、无理数

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:

(1)开方开不尽的数,如图片

(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如图片+8等;

(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;

二、实数的倒数、相反数和绝对值   

1、相反数

实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。

一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。

正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4. 实数与数轴上点的关系:

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,

数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,

实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、科学记数法和近似数   

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做±a×10n的形式,其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。

四、实数大小的比较   

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较:设a、b是实数,

图片

(3)求商比较法:设a、b是两正实数,

图片

(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,图片。

(5)平方法:设a、b是两负实数,则图片。

五、实数的运算   

图片

6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?

实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么?

两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数,商都是零。

8、什么叫有理数的乘方?幂?底数?指数?

相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。记作: an

9、有理数乘方运算的法则是什么?

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?

去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

1.  平移规律

点的平移规律:左右点的横坐标变化,(向右移动,横坐标变大;向左移动,横坐标变小)。上下移动点的纵坐标变化(向上移动,纵坐标变大;向下移动,纵坐标变小)

图形的平移规律:形状大小不变,位置改变; 

规律:横向横变,纵向纵变,正向加,负向减

2.  对称规律

关于x轴对称,纵坐标取相反数

关于y轴对称,横坐标取相反数

关于原点对称,横、纵坐标同时取相反数

3.位置规律

图片

a.平行于横轴(x轴)的直线上的点纵坐标相同

b.平行于纵轴(y轴)的直线上的点横坐标相同

不等式与不等式组

一、不等式

不等式及其解集

1.不等式:用不等号(包括:>、图片、图片、<、≠)表示大小关系的式子。

2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。

3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

不等式的性质:

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).  

性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数,不等号的方向改变。

如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac

性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则) 

性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性) 

性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0

二、一元一次不等式

1.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。

2、不等式的解法:

步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一;

注意:去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。

三、一元一次不等式组

1.一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

2.不等式组的解:几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。

3.解不等式组:先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式的解集。

解一元一次不等式组的一般方法: 

以两条不等式组成的不等式组为例,

①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”

②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大” 

③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。此乃“相交取中

④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。此乃“向背取空”不等式组的解集的确定方法(a>b):

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