相交线与平行线

一、相交线   两条直线相交,形成4个角。

1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。

①邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角,互为邻补角。如:∠1、∠2。

②对顶角:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。如:∠1、∠3。

③对顶角相等。

二、垂线

1.垂直:如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。

2.垂线: 垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3.垂足:两条垂线的交点叫垂足。

4.垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5.点到直线的距离: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角 

两条直线被第三条直线所截形成8个角。

1.同位角:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。如:∠1和∠5。

2.内错角:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。如:∠3和∠5。

3.同旁内角:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如:∠3和∠6。

四、平行线及其判定

平行线

1.平行:两条直线不相交。互相平行的两条直线,互为平行线。a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。) 

2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c

平行线的判定:

1. 两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。(同位角相等,两直线平行)

2. 两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。(内错角相等,两直线平行)

3. 两条平行线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(同旁内角互补,两直线平行)

推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。

平行线的性质

(一)平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。(两直线平行,同位角相等)

2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。(两直线平行,内错角相等)

3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。(两直线平行,同旁内角相等)

(二)命题、定理、证明

1.命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。 

2.命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果„„,那么„„”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。

3.真命题:正确的命题,题设成立,结论一定成立。 

4.假命题:错误的命题,题设成立,不能保证结论一定成立。

5.定理:经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)

6.证明:推理的过程叫做证明。

平移

1.平移:平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移),平移不改变物体的形状和大小。

2.平移的性质 

①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。 

②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。

实数

一、平方根

1、平方根

(1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

(3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3

(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;0的平方根是0.

(5)符号:正数a的正的平方根可用

表示,也是a的算术平方根;正数a的负的平方根可用-表示.

(6)    <—>  

a是x的平方              x的平方是a

x是a的平方根           a的平方根是x

2、算术平方根

(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.

规定:0的算术平方根是0.

     也就是,在等式 (x≥0)中,规定 x=。

(2)的结果有两种情况:当a是完全平方数时,是一个有限数;当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数。

(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小

(5) (x≥0)    <—>   

a是x的平方                    x的平方是a

x是a的算术平方根          a的算术平方根是x

(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:

区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

二、立方根  

  1、立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

  2、一个数a的立方根,记作,读作:“三次根号a”,其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。

  3、一个正数有一个正的立方根;

 0有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立方根; 任何数都有唯一的立方根。

4、利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。

   5、   <—>  

a是x的立方            x的立方是a

x是a的立方根         a的立方根是x

   6、,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、实数

一、实数的概念及分类

无理数:像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。

实数:有理数和无理数统称实数。

1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:

(1)开方开不尽的数,如

(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;

(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;

二、实数的倒数、相反数和绝对值   

1、相反数

实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。

一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。

正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4. 实数与数轴上点的关系:

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,

数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,

实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、科学记数法和近似数   

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做±a×10n的形式,其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。

四、实数大小的比较   

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较:设a、b是实数,

   (3)求商比较法:设a、b是两正实数,

(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,。

(5)平方法:设a、b是两负实数,则。

五、实数的运算   

 6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?

实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

  7、有理数除法运算法则就什么?

两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数,商都是零。

  8、什么叫有理数的乘方?幂?底数?指数?

相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。记作: an

  9、有理数乘方运算的法则是什么?

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?

去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

平面直角坐标系

一、平面直角坐标系

有序数对

1.有序数对:用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我们把这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b) 

2.坐标:数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。

平面直角坐标系

1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。

2.X轴:水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。

3.Y轴:竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。

4.原点:两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。

对应关系:平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。

坐标:对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

象限

1.象限:X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。

2.象限的特点: 

  1、特殊位置的点的坐标的特点:

(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。

(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。 

  2、点到轴及原点的距离:

点到x轴的距离为|y|; 

点到y轴的距离为|x|;

点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号; 

  3、三大规律

(1)平移规律:

点的平移规律   

左右平移→纵坐标不变,横坐标左减右加;

上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。

图形的平移规律 找特殊点

(2)对称规律

   关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数;          

关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变;

关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。  

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