直线和圆的方程是平面解析几何的基础知识，在学习时，应掌握三个核心问题：①直线方程的特征值或直线方程；②直线和圆的位置关系；③直线和圆与其他知识的交汇。这三类问题也是考试命题的热点，下面加以分类归纳。

一、掌握好直线方程的特征值或直线方程

例1  “”是“直线平行于直线”的（    ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解：因为时，直线与直线的斜率相等，所以两直线平行，而直线平行于直线，则斜率相等，，所以选C。

二、掌握好直线与圆的位置关系

例2  圆心为（1，1）且与直线相切的圆的方程是_____________。

解：设所求圆的方程为，由圆心到直线的距离等于半径，可解得，所求圆的方程为。

例3  若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.   

B.   

C.    

D. 

解：由题意得圆的方程为，圆心为（2，2），半径为，若使圆上至少有三个点到直线的距离为，结合图形可知只需圆心到直线的距离d满足，即，显然，两边同除以得，解得，直线的斜率，所以，可解得，故选B。

本题是有关于直线与圆的较为综合的题目，处理这类问题的关键是：（1）充分运用数形结合思想，直观明了；（2）处理好圆心到直线的距离、圆上的点到直线的距离以及直线与圆的交点个数是解决问题的关键。

三、复习好直线和圆与其他知识的交汇

例4  若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（    ）

A. 8或    

B. 6或  

C. 4或

D. 2或

解：过程略。答案为A。

点评：本题考查向量的平移公式和直线与圆的位置关系，是向量与平面解析几何交汇的题目。问题转化为：圆按向量平移后得到的圆与已知直线相切。圆心（，1）到直线的距离等于半径，答案为A。

例5  已知直线与圆O：相交于A、B两点，且，则=___________。

解：先由圆的几何特征，求得两向量的夹角是，则

。

解决直线与圆位置关系问题的

四种常用途径

题目：直线与圆相切，则a的值为（ ）

A.

B.

C.1 

D.

一. 利用几何量之间关系处理

即利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：

（1）圆C与直线相离；

（2）圆C与直线相切；

（3）圆C与直线相交。

解法1：圆的圆心为（1，0），半径，据题意有，解得。

故选D。

二. 利用方程思想处理

即把直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程，其判别式为△，则有：

（1）圆C与直线相离；

（2）圆C与直线相切；

（3）圆C与直线相交。

解法2：由直线方程得，并代入圆方程，整理得。

又直线与圆相切，应有

，解得。

故选D。

三. 利用数形结合法处理

即作出直线与圆的图形，利用图形的直观性，从而使问题解决。

解法3：由直线过定点，如下图知，若直线与圆相切，则有直线与x轴平行，即。

故选D。

四. 特殊方法处理

对于选择题，除了以上常规的方法，还可借助特殊方法来处理，如验证法、估算法、特征分析法等途径。

解法4：验证法

取，显然满足条件，排除B、C；再取a=1，得直线方程是与圆相交。

故排除A，而选D。

 来源：高中数学竞赛。